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2012中考数学热点知识归纳 81
内容
与方形相关的“面积”的多种求法
湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学 张昌林
与方形相关的求平面图形的“阴影”部分的面积是近年中考中比较常见的问题.求“阴影”部分的面积最能体现数学思维方法的灵活性与技巧性.
最近,我老是看到有关这类题目的文章,其解法也是比较单一的且比较复杂的.有好的解题方法对于考试来说是至关重要的,好的方法意味着即省时间又能准确地做对.
华罗庚先生说:神奇化易是良训,易化神奇不足提!下面我们一起来赏析一下这类题目的几种不同解法,比较一下各种方法的优劣,学习一下“神奇化易”的本领.
1.(小学数学题)如图
1:把下面两个正方形放在一起,左边的小正方形边长是10cm,求阴影部分△BDF面积.
解析:这是一道小学里的题目,作为初中生的你该怎么做这道题呢?可能你还不会,也可能你的方法不只一种.下面我们一起来研究.
1.1解法一:如图
2,你也许想到了设未知数,采用整个图形的面积减去空白部分的面积,剩下的就是所求阴影部分的面积的方法.我们来一起做一下.
设
EF=a cm ,得:
+
-
-
-
50
1.2
解法二:如图3,可能你会联想到平行线具有“传递面积”的功能(等底等高的三角形面积相等),于是我 们 连 接CF ,得:
∵
BD∥FC.所以△BDF与△BDC,等底同高面积相等.
∴
1.3解法三:如图
4
,可你能想到了这样的做法吗?从动态的角度看问题.由上面的两种解法(或者说题目中没告诉正方形
EFGC的边长
)我们能看出来△
BDF的面积与右边的正方形EFGC的边长没有关系.也就是说正方形EFGC的边长是可以变化的,但是正方形EFGC的边长是有取值范围的即EF≧AB.当EF=AB时,是比较特殊的情况如图4,不难看出此时
50
点评
上面是一道小学的题目,对于一般的中学生来说解决它也许不成问题.上面的不同方法代表了不同的数学思想,1.1代数思想、1.2几何思想、1.3动态思想(特殊值法)运用不同的思想其繁简程度的不同是显而易见的.
接下来是一道2010年广西南宁的中考题,下面我们运用上面的三种思想(1.1代数思想、1.2几何思想、1.3动态思想(特殊值法))做这道题,比较一下各种方法用于这道题的优劣.
2
.(2010广西南宁)如图5,正方形
、正方形
和正方形
的位置如图5所示,点
在线段
上,正方形
的边长为4,则
的面积为:( )
(A)
10
(B)12 (C)14 (D)16
解析:这道题目可以看做上面一题的变式扩展,我们同样用上述思想来完成这道题目看有没有新的发现.
2.1
解法一:如图6,先把它填补成规则的图形,再用整个图形的面积减去空白部分的面积,剩下的就是所求阴影部分的面积.
设左边的大正方形ABCD的边长为a,右边的小正方形的边长为b,则KH=(4-b),
-
-
-
-
.
故应选
D
.
2.2
解法二:如图6,
或许有些学生认为上面求
的表达式比较麻烦
,
他们注意到四边形
AHKD
是一个梯形
,
这样
可表示为
,
表达式变得简单多了
.
于是
.
由于已知条件并没有直接告诉4 a -4 b的值,有的同学做到这里“卡壳”了.怎么办呢?下面的事情就是求出4 a -4 b的值,为此需要找出a,b的关系.注意到△DCG ~△GPK,则有
,即
.整理得:4a-4b=16.从而可得
.
故应选
D
.
所以从表面上看
,
将
S
△
DEK
的表达式变得简单了
,
似乎求解过程也应该简单
.
然而在求解过程中
,
还需用到相似三角形的知识,不仅麻烦有时甚至在这里
“
卡壳
”
.
2.3解法三:如图7,利用
“
传递面积”的功能(等底等高的三角形面积相等),于是我们连接DB、GE、FK,得:△GED的面积等于△GEB的面积、△GEF的面积等于△GEK的面积.
2.4
解法四:如图8,利用
动态思想(特殊值法).因为题目中没有告诉左边的正方形ABCD和右边正方形FPKR的边长大小,说明所求结果与其大小是没有关系的,其边长大小是可以变化的但是有范围(CD≧GF>PF).用特殊值法,当CD=GF时得到图8,(注意:正方形ABCD的边长变化过程中因为点
在线段
上,所以GF是不可能等于PF的,四边形FPKR也不总是正方形的.)此时左边的正方形和中间的正方形全等右边的正方形变为一点.有图可知:
点评
这是一道选择题在考试的时候,用前面的两种方法显然是不可取的(计算量大,费时且容易出错.)后两种方法虽然简单易行,可一般的考生不容易想到.
再看一道题,它是2008年黑龙江鸡西的一道中考填空题.前面两道都是关于正方形的而这一道是关于长方形的,也可以看成第一道题的变式.下面我们来做一做.
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更新时间:2025/9/3 2:51:38