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2012中考数学考点如何解阅读解答题

内容

    中考数学阅读题解题探析
    山东沂源徐家庄中学孙华山左效平

    中考数学考阅读解答题，是近几年中考的热点题型。下面就结合中考试题谈谈如何解阅读解答题。
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    　　一、改错型阅读：此类问题，常常是事先给出详细的解答过程，但在解答的过程中却设下错误的陷阱，解答者必须要认真读题，仔细审题，在“细”字上下功夫，可谓细节决定成功。
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    　　例1、阅读下列题目的解题过程：
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    　　已知a、b、c为

的三边，且满足

，试判断

的形状。
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　　??? 解：

?
　　???

    ?
    　　问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：??????????????? ；
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    　　（2）错误的原因为：?????????????????????????????????????????????????????? ；
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    （3）本题正确的结论为：??????????? . (06浙江临安）
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    　　分析：本题主要考查在等式两边同除以同一个数或式子时，必须保证这个数或式的值是非零的才行。而在实际考试或学生在做练习时，常常忽视这一点，因而造成解题的失误而丢分。
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    　　解：(1) 上述解题过程，从C步开始出现错误；
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    　　(2) 错误的原因为：没有考虑

，就在等式的两边同除以了这个式子；
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　　(3) 当本

，得：a=b，所以△ABC是等腰三角形
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    　　所以本题正确的结论为：△ABC是直角三角形或等腰三角形。
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    　　二、方法迁移型阅读：
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    　　此类问题，常常是事先给出问题背景，但在问题背景中却蕴含某种数学思想或方法。她要求读者通过阅读与理解，不仅要看懂背景问题所提供的思想或方法，还要应用所学到的思想或方法去解答后面所提出的新问题。
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    　　例2、下面是数学课堂的一个学习片断．阅读后，请回答下面的问题：
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    　　学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角”．同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手讲：“其余两角是30°和120°”；王华同学说：“其余两角是75°和75°”．还有一些同学也提出了不同的看法．
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    　　（1）假如你也在课堂中，你的意见如何？为什么？
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    　　（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）（05，安徽课改，）
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    　　分析：本题以等腰三角形为背景提出一个学生很容易出现错误的问题。通过问题的正确解答，培养学生树立用分类的思想去正确求解等腰三角形的相关问题。而在实际考试或学生在做练习时，学生常常忽视这一点，因而造成解题的失误而丢分。
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    　　解：（1）答：上述两同学回答的均不全面，应该是：
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    　　其余两角的大小是75°和75°或30°和120°．
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    　　理由如下：
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    　　（i）当

是顶角时，设底角是

．
?
　　

，　

．∴其余两角是75°和75°．
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    　　（ii）当∠A是底角时，设顶角是β，
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，

．
    ?
    　　∴其余两角分别是0°和120°．
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    　　（2）感受答有：“分类讨论”，“考虑问题要全面”等能体现分类讨论思想的语句就可以。
    ??
    　　例3、在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式

，因式分解的结果是

，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：(x－y)=0，(x+y)=18，(x²+y²)=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式

，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是：　　　　_________．(写出一个即可)
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    　　分析：通过阅读，要求学生不仅能够灵活进行因式分解，而且渗透了如何求代数式的值。
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    　　解：答案为：101030
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    　　三、归纳、猜想型阅读
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    　　此类问题，常常是事先给出问题背景，但在问题背景中却蕴含某种变化规律或不变性的结论。她要求读者通过阅读与理解，不仅要归纳、猜想出背景问题所蕴含的规律或结论，还要应用所蕴含的规律或结论去解答后面所提出的新问题。
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    　　例4、阅读下面材料并完成填空．
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    　　你能比较两个数2001²⁰⁰²和2002²⁰⁰¹的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较nⁿ^＋1和(n＋1)ⁿ的大小(n≥1的整数)．然后，从分析n＝1，n＝2，n＝3，……，这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．
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    　　(1)通过计算，比较下列①～③各组两个数的大小(在横线上填“＞”“＜”或“＝”)
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    　　①1²______2¹；　②2³______3²；　③3⁴______4³；
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    　　④4⁵＞5⁴；　⑤5⁶＞6⁵；　⑥6⁷＞7⁶；　⑦7⁸＞8⁷；…
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    　　(2)从第(1)小题的结果经过归纳，可以猜想出nⁿ^＋1和(n＋1)ⁿ的大小关系是：_________．
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    　　(3)根据上面归纳猜想得到的一般结论，可以得到2001²⁰⁰²______2002
    ²⁰⁰¹(填“＞”“＜”或“＝”)．
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    　　解；1.①1²___＜ ___2¹；　②2³___＜___3²；　③3⁴__＞____4³；
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    　　2、当n≤2时 nⁿ^＋1＜(n＋1)ⁿ ;
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    　　当n＞2时,nⁿ^＋1＞(n＋1)ⁿ
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    　　3、2001²⁰⁰²___＞___2002²⁰⁰¹
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    　　四、补充完善型阅读
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    　　此类问题，常常是事先给出问题背景，但在问题背景中有着不完善的解答过程或蕴含某种结论。她要求读者通过阅读与理解，不仅要完善的解答过程，还要解答后面所提出的新问题。
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    　　例5、我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等?
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    　　(1)阅读与证明：
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    　　对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．
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    　　对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等(证明略)．
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    　　对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：
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    　　已知：△ABC、△A₁B
    ₁C₁均为锐角三角形，AB=A₁B₁，BC=B₁C_l，∠C=∠C_l．
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    　　求证：△ABC≌△A₁B₁C₁．
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    　　(请你将下列证明过程补充完整)
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    　　证明：分别过点B，B₁作BD⊥CA于D，
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    　　??? B₁ D₁⊥C₁ A₁于D₁.
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    　　??? 则∠BDC=∠B₁D₁C₁=90⁰，
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    　　??? ∵BC=B₁C₁，∠C=∠C₁，
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    　　??? ∴△BCD≌△B₁C₁D₁，
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    　　??? ∴BD=B₁D₁．
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    　　(2)归纳与叙述：
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    　　由(1)可得到一个正确结论，请你写出这个结论．(06浙江绍兴)
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    　　解：（1）分别过点B，B₁作BD⊥CA于D，
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    　　??? B₁ D₁⊥C₁ A₁于D₁.
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    　　??? 则∠BDC=∠B₁D₁C₁=90⁰，
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    　　??? ∵BC=B₁C₁，∠C=∠C₁，
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    　　??? ∴△BCD≌△B₁C₁D₁，
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    　　??? ∴BD=B₁D₁．
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    　　又∵AB=A
    ₁B₁，∠ADB=∠A₁D₁B₁=90°．
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    　　??? ∴△ADB≌△A₁D₁B₁，
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    　　??? ∴∠A=∠A₁，
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    　　??? 又∵∠C=∠C₁，BC=B₁C₁，
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    　　??? ∴△ABC≌△A₁B₁C₁．
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    （2）若△ABC、△A₁B₁C₁均为锐角三角形，且AB=A₁B-₁，BC=B₁C₁，∠C=∠C₁，则△ABC≌△A₁B₁C₁．
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    　?? 若△ABC、△A₁B₁C₁均为直角三角形，且AB=A₁B-₁，BC=B₁C₁，∠C=∠C₁，则△ABC≌△A₁B₁C₁．
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    　　若△ABC、△A₁B₁C₁均为钝角三角形，且AB=A₁B-₁，BC=B₁C₁，∠C=∠C₁，则△ABC≌△A₁B₁C₁．
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    　　五、试验探究型阅读
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    　　此类问题，常常是事先给出一个试验背景，但在试验背景中却蕴含某种变化规律或不变性的结论或数学思想等等。她要求读者通过对试验的阅读与操作，要归纳、猜想出背景所蕴含的规律或结论。
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    　　例6、我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．
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    　　数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．
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    　　例如，求1＋2＋3＋4＋…＋n的值，其中n是正整数．
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    　　对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论．
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    　　如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1＋2＋3＋4＋…＋n 的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1＋2＋3＋4＋…＋n的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n＋1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n＋1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为

，即1＋2＋3＋4＋…＋n＝

．
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    　　（1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，
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    　　求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中 n 是正整数．
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    　　（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）
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    　　（2）试设计另外一种图形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中n是正整数．
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    　　（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）(06青岛)
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    　　解：（1）
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    ?
    　　因为组成此平行四边形的小圆圈共有n 行，每行有[（2n －1）＋1]个，即2n 个，所以组成此平行四边形的小圆圈共有（n×2n）个，即2n²个．
    ?
    　　∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝

＝n² ．
    ?
    　　
    ?
    　　（2）
    ?

    ?
    　　因为组成此正方形的小圆圈共有n 行，每行有n个，所以共有（n×n）个，即n² 个．
    ?
    　　∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n×n＝n² ． …

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