网站首页
留学
移民
外语考试
英语词汇
法语词汇
旧版资料
请输入您要查询的出国留学信息:
标题
2012中考数学考点 解证比例线段
内容
巧用比例性质,解证比例线段
江苏省东台中学实验初中 周礼寅
比例的三条性质,是相似形中证明比例线段问题的基本依据,若能灵活加以应用,则可减少思维障碍,迅速打开解题突破口。
1
巧用基本性质
“三点形法”是证明线段等积的最常用也是最有效的方法。它是根据比例的基本性质,将等积式转化为比例式,找出其中包含的几个字母,是否存在可由“三点”定出的两个相似三角形。
例1、如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=
,AB=AC,D为BC中点,E为AC上一点,点G在BE上,连结DG并延长交AE于F,若∠FGE=
,(1)求证:BD·BC=BG·BE;(2)求证:AG⊥BE;(3)若E为AC的中点,求EF∶FD的值。
分析:(1)将待证的等积式化为比例式:
,横看:比例式的两个分子为B、D、E三点,两个分母为B、G、C三点,均不能构成相似三角形;竖看:比例式左端BD、BG构成△BDG,右端BE、BC构成△BEC,依“三点形法”只需证△BDG∽△BEC;(2)、(3)分析略。
在运用“三点形法”时,首先要化等积式为比例式,然后再横看看、竖看看,找到相似三角形进而证明。但有时将等积式化为比例式后无法再用“三点形法”,此时还需运用以下三种常用的转化方法进行证明:
1
.1 等线段转化法
例2、如图2,△ABC中,AB=AC,AD是中线,P为AD上一点,过点C作CF∥AB,延长BP交AC于E,交CF于F,求证:
=PE·PF
分析:线段BP、PE、PF在同一条直线BE上,无法用相似三角形来证明。连结PC,可得BP=PC,故可用PC来替换BP。
证明:连结PC,
∵△ABC中,AB=AC,AD是中线
∴AP平分∠BAC ,∠BAP=∠CAP
∴△BAP≌△CAP,
∴BP=CP,∠ABP=∠ACP
又∵CF∥AB
∴∠ABP=∠F
∴∠ACP=∠F
∴△PCF∽△PEC
∴
,
=PE·PF
而 BP=CP
∴
=PE·PF
将某线段用与其相等的线段替换,以便能构成相似三角形,这是证明线段比例式和等积式的基本方法之一。
1.
2
等积转化法
例3、如图3,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,求证:AE·AB=AF·AC
分析:待证结论中的线段虽然能构成△ABC与△AEF,但不能找到相似条件。注意到题目中的垂直关系较多,联系课本中的“母子相似形”这一基本图形的有关结论,可将待证结论转化。
证明:
∵AD⊥BC, DE⊥AB
∴Rt△ADB∽Rt△AED
∴
,
=AB·AE
同理,
=AF·AC
∴AE·AB=AF·AC
“母子相似形”这一基本图形是教材中的例题,它的基本结论有如下几个:如图,在Rt△ABC中CD⊥AB于D,则有
① △ABC∽△ACD∽△CBD
②
=BD·AD,
=AD
·AB,
=BD
·AB
③ CD·AB= BC·AC
要特别注意这些结论的灵活运用。
1.
3
等比转化法
例4、已知如图4,CD是Rt△ABC斜边AB上的高,E为BC的中点,ED的延长线交CA于F,求证:AC∶BC=DF∶CF
分析:将结论改写为:
,横看,分子不能构成两个三角形;竖看,虽依“三点形法”有△ABC与△DCF,但它们显然不相似,只能另寻突破口。注意到“母子相似形”这一重要的基本图形,有
,故只需证
,即证△FDC∽△FAD。
证明:∵在Rt△ABC中,CD⊥AB
∴∠B=∠ACD,
∵△ACD∽△CBD
∴
又∵E为Rt△CDB中BC的中点
∴DE=BE=CE,∠B=∠EDB=∠ADF
∴△FDC∽△FAD
∴
∴
即AC∶BC=DF∶CF
以上几种方法都是利用比例的基本性质对待证结论进行的等价转化,这种转化是相似形中最常用的一种变形。
2
巧用合比性质
当待证结论经转化后,其形式与合比性质相似,这时应再次运用合比性质将结论进一步转化,直至找到相似三角形。
例5、已知如图5,在△ABC中,AD为∠BAC的角平分线,EF是AD的垂直平分线且交AB于E,交BC的延长线于F,求证:DC·DF=BD·CF
分析:欲证:DC·DF=BD·CF
即证:
即证:
若连结AF,则AF=DF
故即证:
只需证△FAB∽△FCA
证明:
连结AF,则AF=DF,∠FAD=∠FDA
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
又∵∠FAD=∠CAD+∠CAF,∠FDA=∠B+∠BAD
∴∠B=∠CAF
∴△FAB∽△FCA,以下证明略。
3
巧用等比性质
例6、如图6,I是△ABC三个内角平分线的交点,AI交对边于D,求证:
分析:观察等式右边,可用合比性质或等比性质转化。但若用合比性质进行转化,左边不易转化,故考虑用等比性质转化待证结论。
欲证:
即证:
由于BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB,
故有:
由等比性质,得证。
注:本题证明过程中应用了角平分线的性质,即如图7,若AD平分∠BAC,则
(图7)
相似三角形中比例线段的证明方法很多,也很灵活。我们只有在平时学习中主动探究,合作交流,注重总结,举一反三,这样才能真正做数学学习的主人。
中考政策
中考状元
中考饮食
中考备考辅导
中考复习资料
随便看
初中生奋斗演讲稿800字
给老公的生日祝福语感人
工程设计2019年终工作总结
学生考试没考好检讨书2019
酒店厨师个人原因辞职报告2019
中学生期中考试没考好检讨书800字
租房合同范本五篇
写给老婆诚恳认错的检讨书800字
去泰国留学要考雅思吗
老公生日快乐祝福语微信
学生值日迟到检讨书800字
医院护士迟到检讨书800字
画画特长生迟到检讨书
大学生逃课旷课800字检讨书
班长没有管好课堂纪律检讨书
高中生群体打架斗殴检讨书800字
小学生卖火柴的小女孩读后感范文
爱护校园环境演讲稿800字
学生破坏公物检讨书800字
加拿大留学生兼职工作推荐 怎样申请半工半读
小区物业保洁主管年终工作总结
2020考研备考:强化冲刺阶段该如何去准备?
牛虻读后感800字左右
中职学生旷课检讨书
社团活动迟到检讨书
melisse
melissique
melite
melitine
melitite
melitococcie
melitriose
melitte
melittine
meliturie
toddling
toe
toed
TOEFL
toeing
toelike
toenail
toenailed
toenailing
toenails
马耳他移民通过这些方式获得收入
香港的介绍
在香港吃点心之前应该知道的事情
移民香港实用的生活攻略
怎样去香港的各个地方?
几月份适合去香港旅游
在香港开设银行账户指南
香港移民后的好处有哪些?
注册香港公司的好处
在香港怎么定居?
想出国,如何提高口语学习的标准?
雅思听力:租房场景词汇之饮食相关
雅思听力有哪些题型,怎么解?
雅思口语Part 2:除了英语我最想学习法语,是因为这些原因?
雅思口语Part 2:开机票盲盒我竟然真的开到了这个地方!
假如古人有英文名,Wendy和Woody就成了爷孙俩?
《剑16》Test 4 小作文详解:又来流程图?教你几招小窍门!
3分钟学会一个雅思7分句(第95期)
如何拯救你的雅思英语写作?
雅思写作中的“五种基本句型”详解
出国留学网为出国留学人员提供留学、移民、外语考试等出国知识,帮助用户化解出国留学过程中的各种疑难问题。
Copyright © 2002-2024 swcvc.com All Rights Reserved
更新时间:2025/9/7 9:00:12