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标题
2012中考数学考点 解证比例线段
内容
巧用比例性质,解证比例线段
江苏省东台中学实验初中 周礼寅
比例的三条性质,是相似形中证明比例线段问题的基本依据,若能灵活加以应用,则可减少思维障碍,迅速打开解题突破口。
1
巧用基本性质
“三点形法”是证明线段等积的最常用也是最有效的方法。它是根据比例的基本性质,将等积式转化为比例式,找出其中包含的几个字母,是否存在可由“三点”定出的两个相似三角形。
例1、如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=
,AB=AC,D为BC中点,E为AC上一点,点G在BE上,连结DG并延长交AE于F,若∠FGE=
,(1)求证:BD·BC=BG·BE;(2)求证:AG⊥BE;(3)若E为AC的中点,求EF∶FD的值。
分析:(1)将待证的等积式化为比例式:
,横看:比例式的两个分子为B、D、E三点,两个分母为B、G、C三点,均不能构成相似三角形;竖看:比例式左端BD、BG构成△BDG,右端BE、BC构成△BEC,依“三点形法”只需证△BDG∽△BEC;(2)、(3)分析略。
在运用“三点形法”时,首先要化等积式为比例式,然后再横看看、竖看看,找到相似三角形进而证明。但有时将等积式化为比例式后无法再用“三点形法”,此时还需运用以下三种常用的转化方法进行证明:
1
.1 等线段转化法
例2、如图2,△ABC中,AB=AC,AD是中线,P为AD上一点,过点C作CF∥AB,延长BP交AC于E,交CF于F,求证:
=PE·PF
分析:线段BP、PE、PF在同一条直线BE上,无法用相似三角形来证明。连结PC,可得BP=PC,故可用PC来替换BP。
证明:连结PC,
∵△ABC中,AB=AC,AD是中线
∴AP平分∠BAC ,∠BAP=∠CAP
∴△BAP≌△CAP,
∴BP=CP,∠ABP=∠ACP
又∵CF∥AB
∴∠ABP=∠F
∴∠ACP=∠F
∴△PCF∽△PEC
∴
,
=PE·PF
而 BP=CP
∴
=PE·PF
将某线段用与其相等的线段替换,以便能构成相似三角形,这是证明线段比例式和等积式的基本方法之一。
1.
2
等积转化法
例3、如图3,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,求证:AE·AB=AF·AC
分析:待证结论中的线段虽然能构成△ABC与△AEF,但不能找到相似条件。注意到题目中的垂直关系较多,联系课本中的“母子相似形”这一基本图形的有关结论,可将待证结论转化。
证明:
∵AD⊥BC, DE⊥AB
∴Rt△ADB∽Rt△AED
∴
,
=AB·AE
同理,
=AF·AC
∴AE·AB=AF·AC
“母子相似形”这一基本图形是教材中的例题,它的基本结论有如下几个:如图,在Rt△ABC中CD⊥AB于D,则有
① △ABC∽△ACD∽△CBD
②
=BD·AD,
=AD
·AB,
=BD
·AB
③ CD·AB= BC·AC
要特别注意这些结论的灵活运用。
1.
3
等比转化法
例4、已知如图4,CD是Rt△ABC斜边AB上的高,E为BC的中点,ED的延长线交CA于F,求证:AC∶BC=DF∶CF
分析:将结论改写为:
,横看,分子不能构成两个三角形;竖看,虽依“三点形法”有△ABC与△DCF,但它们显然不相似,只能另寻突破口。注意到“母子相似形”这一重要的基本图形,有
,故只需证
,即证△FDC∽△FAD。
证明:∵在Rt△ABC中,CD⊥AB
∴∠B=∠ACD,
∵△ACD∽△CBD
∴
又∵E为Rt△CDB中BC的中点
∴DE=BE=CE,∠B=∠EDB=∠ADF
∴△FDC∽△FAD
∴
∴
即AC∶BC=DF∶CF
以上几种方法都是利用比例的基本性质对待证结论进行的等价转化,这种转化是相似形中最常用的一种变形。
2
巧用合比性质
当待证结论经转化后,其形式与合比性质相似,这时应再次运用合比性质将结论进一步转化,直至找到相似三角形。
例5、已知如图5,在△ABC中,AD为∠BAC的角平分线,EF是AD的垂直平分线且交AB于E,交BC的延长线于F,求证:DC·DF=BD·CF
分析:欲证:DC·DF=BD·CF
即证:
即证:
若连结AF,则AF=DF
故即证:
只需证△FAB∽△FCA
证明:
连结AF,则AF=DF,∠FAD=∠FDA
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
又∵∠FAD=∠CAD+∠CAF,∠FDA=∠B+∠BAD
∴∠B=∠CAF
∴△FAB∽△FCA,以下证明略。
3
巧用等比性质
例6、如图6,I是△ABC三个内角平分线的交点,AI交对边于D,求证:
分析:观察等式右边,可用合比性质或等比性质转化。但若用合比性质进行转化,左边不易转化,故考虑用等比性质转化待证结论。
欲证:
即证:
由于BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB,
故有:
由等比性质,得证。
注:本题证明过程中应用了角平分线的性质,即如图7,若AD平分∠BAC,则
(图7)
相似三角形中比例线段的证明方法很多,也很灵活。我们只有在平时学习中主动探究,合作交流,注重总结,举一反三,这样才能真正做数学学习的主人。
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更新时间:2025/9/27 19:00:18