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2012中考数学热点知识归纳 78

内容

    借因式分解求值
    湖北省黄石市下陆中学　周国强

    因式分解用处多多。其中，某些求值问题亦可借助因式分解来解决，现举几例，以求抛砖引玉。
    一、.求算式的值??
    例1 计算：1003

－501×2006
    ?
    简析：因为2006=1003 ×2，501×2=1002，所以运用提公因式法进行因式分解，可简化运算。
    。
    解：原式=1003

－501×2×1003=1003×（1003－1002）=1003。
?
例2 计算：101

－202－9998
?
简析：因为首项是101

，第二项中的202=2×101，第三项中的9998=9999－1，
    ?
    所以考虑用完全平方公式分解因式，可简化运算。
    ?
    ?解：原式=101

－2×101－（9999－1）=（101－1）

－9999=100

－9999=1。
    ?
    二、求代数式的值
    ?
    例3 当m=－5时，求m

－34m

+225的值
    ?
    ?简析：直接代入计算较麻烦，可先考虑用十字相乘法将所求的式子因式分解，再代入
    ?
    计算。
    ?解：∵m

－34m

+225=（m

－9）（m

－25）=（m+3）（m－3）（m+5）（m??
    ?
    －5），
    ?????????? ∴当m=－5时，原式= 0。
    例4 已知a

+a +1=0,求a

+2a

+5a

+4a的值。
    ?
    简析：显然，解出a的值后，再代入计算是不可取的。若先把所求式子进行因式分解，
    ?
    然后整体代入求值，则事半功倍。
    解：∵a

+2a

+5a

+4a=（a

+a）+4（a

+a）=（a

+a）（a

+a+4），
∴当a

+a =? － 1时，原式=－1×（－1+4）=－3。
    ?
    三、求待定系数的值
    ?
    例5 二次多项式x

+2mx－3 m

能被x－1整除，求 m的值。
?
简析：二次多项式x

+2mx－3 m

能被x－1整除，即x

+2mx－3 m

中含有因式
?
x－1。若x

+2mx－3 m

能分解为两个关于x的一次式的积，则问题迎刃而解。
    ?
    ????? 解：∵x

+2mx－3 m

＝（x+3m）(x－m),
????????? 又x

+2mx－3 m

能被x－1整除，
    ????????? ∴x+3m＝x－1或x－m= x－1，
    ????????? ∴m=－

或1.
????? 例6. k为何值时，方程（k－1）x

－(2k+3)x+(k+4)=0(k≠1)的两根平方差为15？
    ?
    ????? 简析：先将方程左边进行因式分解，进而求出两根，依题意可构造关于k的方程来解。
    ?
    ????? 解：将原方程左边因式分解，变形为
    ????????? [（k－1）x－(k+4)]（ｘ－1）=　0
    　 ∴