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2012中考数学热点知识归纳 68

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    重新认识“钟面角”
    湖北省黄石市下陆中学　宋毓彬

    日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，然而我们对钟表表面上的时针、分针、秒针之间的夹角（即“钟面角”）问题可能并没有在意．其实钟面角中蕴涵着丰富的数学知识，我们一起来探究一下“钟面角”问题吧．
    一、认识“钟面角”
    要分析钟面角，我们首先要结合其图形特点，寻找并发现它们的变化规律．
    ⑴钟表的表面特点
    ：钟表的表面都是一个圆形，共有12个大格，每个大格间有5个小格．圆形的表面恰好对应着一个周角360°，每个大格对应30°角，每个小格对应6°角．表面一般有时针、分针、秒针三根指针．
    ⑵钟表时针、分针、秒针的转动情况：时针每小时转1大格，每12分钟转1小格，每12个小时转1个圆周；分针每5分钟转一大格，每1分钟转1小格，每小时转1个圆周；秒针5秒钟转1大格，每1秒钟转1小格，每1分钟转一个圆周．
    ⑶时针、分针、秒针的转速：有了以上的认识，我们很容易计算出相应指针的转速：①钟表的时针转速为：30°/小时或0.5°/分钟；②分针的转速为：6°/分钟或0.1°/秒钟；③秒针的转速为：6°/秒．
    有了这些对钟面角的基本认识，我们就可以探究与钟面角有关的问题了．
    二、解决与钟面角有关的数学问题
    　　⒈计算从某一时刻到另一时刻，时针（分针）转过的角度
    ⑴公式法：时（分）针从某一时刻到另一时刻转过的角度=时（分）针转过的时间×时（分）针的转速（注意统一单位）．
    ⑵观察法：若时（分）针转过了a大格b小格，则时（分）针从某一时刻到另一时刻转过的角度为：30a+6b°．
    例1.⑴从3：15到7：45，时针转过??????? 度．
    ⑵从1：45到2：05，分针转过
    ??????? 度．
    分析：⑴从3：15到7：45，时针走过的时间为4.5小时（270分钟），∴时针转过的角度为：4.5×30°=135°（或270×0.5°=135°）
    ??? 或用观察法：时针共走了4大格2.5小格，∴时针转过的角度为：4×30+2.5×6=135°．
    ⑵从1：45到2：05，分钟走过的时间为20分钟，∴分针转过的角度为：20×6°=120°．
    ??? 或用观察法：分针共走了4个大格（或20小格）∴分针转过的角度为：4×30°=120°（或：20×6°=120°）．
    　　⒉计算某一时刻时针（分针）与分针（秒针）之间的夹角
    ⑴求差法：以0点（12时）为基准到某一时刻止，时针转过的角度与分针在整点后的时间转过的角度差，即时针、分针之间的夹角．
    ⑵观察法：某一时刻时针、分针相差a个大格b个小格，时针分针的钟面角=30a+6b°．
    例2．⑴4：00点整，时针、分针的夹角为???????? ．
    ???? ⑵11：40，时针、分针的夹角为????????? ．
    分析：⑴4：00整，时针、分针相差4个大格，夹角为：4×30°=120°．
    ⑵①作差法：11：40，以0点（12时）为基准
    时针转过的角度为：11×30°=350°
    分针转过的角度为：40×6°=240°
    ∴时针、分针的夹角为：350°－240°=110°
    ②观察法：11：40分针、时针相隔3
    个大格，∴时针、分针的夹角为：3×30°=110°
    　　⒊求时针、分针成特殊角时对应的时间
    方程思想：时针、分针成特殊角时对应的时间问题，通常以0点（12时）为基准将时针、分针所转过的角度可看成一个追及问题，从而借助方程进行求解．
    相等关系：①整点后分针转过的角度－整点后时针转过的角度=整点时分针、时针的夹角（分针需追赶的角度）+a时x分分针与指针的夹角（分针应多转的角度）
    ②或：分针整点后转过的角度—时针从0点基准到现在时刻转过的角度=所成的特殊角
    例3．你能用一元一次方程解决下面的问题吗？（课本习题P114页第8题）
    在3时和4时之间的哪个时刻，钟的分针与时针：⑴重合；⑵成平角；⑶成直角．

    分析：⑴重合：设3时x分时针、分针重合．3时整，时针、分针的夹角为90°．即在后x分钟，分针要比时针多走90°，分针才能追及时针重合．
    ???? 从3时整到3时x分，分针走过6x度角，时针走过0.5x度角．依题意有
    ???? 6x－0.5x=90??????????? 解得：x≈16
    ⑵分针与时针成平角：设3时x分时针、分针成平角，即在后x分钟，分针先要多走90°追及时针，然后还要比时针多走180°．依题意有
    ???? 6x－0.5x=90+180??????? 解得：x≈49
    ⑶分针与时针成直角：应分两种情况讨论．
    ①分针在时针的顺时针方向垂直．此时钟面角为90°．即在后x分钟，分针先要多走90°追及时针，然后还要比时针多走90°．依题意有
    ???? 6x－0.5x=90+90180??????? 解得：x≈33
    ②分针在时针的逆时针方向垂直．此时钟面角为270°．即在后x分钟，分针先要多走90°追及时针，然后还要比时针多走270°．依题意有
    ???? 6x－0.5x=90+90180??????? 解得：x≈65（不合题意，舍去）
    　　⒋钟面角的综合应用
    例4.在一个圆形时钟的表面，OA表示秒钟，OB表示分钟（O为两针的旋转中心）．若现在时间恰好是12点整，问经过多少秒后，△OAB的面积第一次达到最大？
    分析：△OAB的面积最大，设OA边上的高为h，则h总小于等于OB，只有当OA⊥OB时，h=OB，此时△OAB的面积最大．
    12点整，分针、秒针重合，设经过x秒，分针、秒针第一次垂直，△OAB的面积第一次达到最大．此时秒针走过角度为6x，分针走过的角度为0.1x．依题意有
    6x—0.1x=90?????? 解得x=15
    即经过15秒后，△OAB的面积第一次达到最大．

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