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2012中考数学考点辅助线的作法

内容

    梯形中常见辅助线的作法
    湖北省黄石市下陆中学　陈　勇

    梯形是一种特殊的四边形,它是平行四边形和三角形的“综合 ”。可以通过适当地添加辅助线，构造三角形、平行四边形，再运用三角形、平行四边形的相关知识去解决梯形问题。下面就梯形中辅助线的常见添加方法举例说明，希望对同学们有所帮助。
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    一、平移对角线：平移一条对角线，使之经过梯形的另一个顶点。
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    例1　如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AC⊥BD,梯形的高CF为10，求梯形ABCD的面积。
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    分析：由于等腰梯形ABCD的对角线AC⊥BD且AC=BD，所以我们可以平移一对角线构造一等腰直角三角形，通过验证发现梯形的面积与这个三角形的面积相等，因此只需求出三角形的面积即可。
    解：过点C作CE∥DB交AB的延长线于点E.
    ∵DC∥AE ；∴四边形CDBE为平行边形；∴DB=CE,DC=BE
    ∵梯形ABCD为等腰梯形；∴AD=BC,AC=BD；∴AC=CE
    ∴
    △ADC≌△CBE即S△ADC=S△CBE；∴S梯形ABCD= S△ACE
    ∵AC⊥BD，CE∥DB；∴AC⊥CE；∴△ACE为等腰直角三角形
    ∵CF为高,∴CF也为等腰直角三角形ACE斜边上的中线
    ∵CF=10，∴AE=20
    ∴S梯形ABCD= S△ACE= AE×CF=×20×10=100
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    二、平移一腰或两腰：平移一腰，使之经过梯形的另一个顶点或另条腰的中点；或者同时移动两腰使它们交于一点。
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    例2　如图，等腰梯形ABCD两底之差等于一腰的长，那么这个梯形较小的一个内角是(? )
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    A.9O°　　 B.6O°　　 C.45°　　 D.30°
    解析：由条件“两底之差等于一腰的长”，可平移一腰。如图所示平移 DC到AE，AE交BC于E。可知BE= BC-AD=AB．又AB=DC=AE．故 AB=BE=AE,△ABE是等边三角形。所以∠B=60°.故选B。
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    例3　如图，在梯形ABCD中，AD∥BC．AD<BC，E、F分别为AD、BC的中点，且EF⊥BC。求证：∠B=∠C。
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    解析：要证∠B=∠C，可把它们移到同一个三角形中，利用等腰三角形的有关性质加以证明。
    过点E作EH∥AB，EG∥DC，分别交BC于H、G。
    ∵AD∥BC，∴四边形ABHE和四边形EGCD都是平行四边形。
    ∴AE=BH，ED=GC。又E、F分别为AD、BC的中点，所以AE=ED，BF=FC
    ∴BH=GC,BF-BH= FC-GC，从而FH=FG.又EF⊥BC,所以EH=EG，故?? ∠EHF=∠EGF,得∠B=∠C。
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    三、延长两腰：将梯形两腰延长相交构造三角形。
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    例4　在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD+BC=30，BD平分∠ABC，求梯形的周长。
    解析：延长两腰相交于点 E，如图，因为∠ABC=∠BCD=60°，故∠E=60°，△BCE为等边三角形。又BD平分∠ABC，所以BD垂直平分CE，所以CD=
    BC。又AD∥BC，故△ADE为等边三角形。AD=ED=CD.由AD+BC=30,知CD+2CD=30,CD=10。
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    ∴梯形的周长为30+AB+CD=30+2CD=50。
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    四、作梯形的高：过梯上底的两个端点分别作梯形的高。
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    例5　已知等腰梯形的一个内角为60°，它的上底是3cm，腰长是4cm，则下底是?????? 。
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    解析：如图，梯形ABCD中，∠B=∠C=60°， AD=3cm，AB=DC=4cm，过点A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F则有∠BAE=∠CDF=30°，BE=FC=
    AB=2 cm。
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    ∴? BC=BE+EF+FC=BE+AD+FC=7(cm).
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    梯形中添加辅助线的方法有很多，同学们在学习的过程中还须活学活用，也可以以口诀的形式记忆下来：“
    移动梯形对角线，两腰之和成一线；平行移动一条腰，两腰同在“△”现；延长两腰交一点，“△”中有平行线；作出梯形两高线，矩形显示在眼前；已知腰上一中线，莫忘作出中位线”。

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