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标题

2012中考数学考点应用根与系数关系

内容

    应用根与系数关系莫忘判别式
    湖北省黄石市下陆中学　宋毓彬

    一元二次方程中根与系数的关系称作韦达定理。韦达定理在解决与一元二次方程有关的实际问题中有着广泛的应用。但在应用韦达定理时，很多同学往往忽视一个重要制约条件，这就是要先保证该一元二次方程有实数根（满足根的判别式），如果一元二次方程没有实数根，则也不存在根与系数的关系。因此，我们在应用韦达定理时要牢记判别式条件。
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    例1　已知x
    、x是方程2x－2x+1－3m=0的两个实数根，且xx+2（ x+x）＞0，那么实数m的取值范围是????????? 。
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    解析：⑴方程有两个实数根，则（-2）－4×2（1－3m）≥0，∴m≥
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    ⑵由韦达定理x+x=1，xx
    = ，又xx+2（ x+x）＞0
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    即有+2＞0?? ∴m＜
    ?? ????∴实数m的取值范围是≤m≤
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    点拨：应用韦达定理的前提是要保证方程存在实数根。
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    例2　若关于x的一元二次方程3x+3（a+b）x+4ab=0的两个实数根x
    、x满足关系式x（ x+1）+ x（x+1）=（x+1）（x

+1），判断（a+b）≤4是否正确？若正确，请加以证明；若不正确，请举一反例。
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    解析：⑴由x（ x+1）+ x（x

+1）=（x+1）（x+1），变形得：
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    （x+x）－3 xx
    －1=0?? 由韦达定理有x+x=－（a+b），xx=ab
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    即有（a+b）－4ab－1=0?? ∴（a+b）=4ab+1
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    ⑵方程有两个实数根，由根的判别式9（a+b）－48ab≥0，∴（a+b）≥ab
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    ∴4ab+1≥ab，可得4ab≤3???? ∴（a+b）=4ab+1≤4。
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    点拨：由根的判别式作中间条件推导出4ab≤3是本题的解题关键。
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    例3　设x、x是方程2x
    －4mx+2m+3m－2=0的两个实数根，当m为何值时x+x有最小值？并求出这个最小值。
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    解析：⑴由根的判别式16 m－8（2m+3m－2）≥0，?∴m≤
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    ⑵由韦达定理有x+x=2m，xx
    =
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    设y= x+x=（x+x
    ）－2 xx=4 m－（2m+3m－2）
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    ?? =2 m
    －3m+2=2（m－）+
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    y关于m的二次函数对称轴m=，m≤＜
    时，y随m的增大而减小
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    ∴m=时，y有最小值，即x+x有最小值。最小值为：2（

－）+=
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    点拨：由根的判别式确定m的取值范围，从而正确地确定二次函数区间上的最小值。
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    练习：
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    1．若关于x的方程2x－2x+3m－1=0有两个实数根x、x，且xx＞x+x－4，则实数m的取值范围是（??? ）。
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    A．m＞；? B。m≤；? C。m＜； D。＜m≤
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    2．△ABC的一边长为5，另两边长恰为方程2x
    －12x+m=0的两根，则m的取值范围是????????? 。
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    （1．参考答案：B；2．点拨：由方程两根之差小于第三边，结合韦达定理、判别式可求得＜m≤18）
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    作者简介：宋毓彬，男，43岁，中学数学高级教师。在《中学数学教学参考》、《数理天地》、《中学生数学》、《数理化学习》、《数理化解题研究》、《中学课程辅导》、《数学周报》、《数学辅导报》、《数理报》、《少年智力开发报》、《学习报》、《小博士报》等报刊发表教学辅导类文章60多篇。主要致力于初中数学中考及解题方法、技巧等教学方面的研究。

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