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标题
2012中考数学考点 决策类一次函数模型
内容
借助一次函数模型作决策
河北省唐县齐家佐乡葛公中学 张红建
决策类一次函数模型是中考重要模型,它
是刻画变量之间关系的有效数学模型,现实生活中的许多问题可以通过建立一次函数模型去研究它,
在中考试题中占有重要地位,这类试题往往与方程、不等式(组)结合在一起,需要灵活运用不等式(组)及一次函数的性质,确定
自变量的值,进而对问题作出合理决策。
这类应用题重在考查学生阅读能力,应用数学知识分析问题能力,建立数学模型解决实际问题能力,培养学生应用数学的意识。要解好此类问题必须做到:
一是建摸。它是解答应用题的最关键的步骤,即在阅读材料,理解题意的基础上,把实际问题的本质抽象转化为数学问题,从而
根据题意建立一次函数模型。
二是解摸。即运用所学的知识和方法对数学模型进行分析、运算,解答纯数学问题,最后检验所得的解,写出实际问题的结论。
现以
06
年的中考题为例对此类问题的解法作一说明,望对同学生们的复习能有所帮助。
一、由方程(组)确定决策点
1
、由题目条件建立方程(组),求得决策点
这类试题的特点是由题目的条件,分析出两个解析式,由两解析式组成方程组,求得方程组的解,从而建立讨论点。
例1:(06锦州)小刚家装修,准备安装照明灯.他和爸爸到市场进行调查,了解到某种优质品牌的一盏40瓦白炽灯的售价为1.5元,一盏8瓦节能灯的售价为22.38元,这两种功率的灯发光效果相当.假定电价为0.45元/度,设照明时间为x(小时),使用一盏白炽灯和一盏节能灯的费用分别为y
1
(元)和y
2
(元)[耗电量(度)=功率(千瓦)×用电时间(小时),费用=电费+灯的售价].
(1)分别求出y
1
、y
2
与照明时间x之间的函数表达式;
(2)你认为选择哪种照明灯合算?
(3)若一盏白炽灯的使用寿命为2000小时,一盏节能灯的使用寿命为6000小时,如果不考虑其他因素,以6000小时计算,使用哪种照明灯省钱?省多少钱?
解:(1)根据题意,得
,即
;
,即
.
(2)由y
1
=y
2
,得0.018x+1.5=0.0036x+22.38,解得x=1450;
由y
1
>y
2
,得0.018x+1.5>0.0036x+22.38,解得x>1450;
由y
1
<y
2
,得0.018x+1.5<0.0036x+22.38,解得x<1450.
∴当照明时间为1450小时时,选择两种灯的费用相同;当照明时间超过1450小时时,选择节能灯合算;当照明时间少于1450小时时,选择白炽灯合算.
(3)由(2)知当x>1450小时时,使用节能灯省钱.
当x=2000时,y
1
=0.018×2000+1.5=37.5(元);
当x=6000时,y
2
=0.0036×6000+22.38=43.98(元),
∴3×37.5-43.98=68.52(元).
∴按6000小时计算,使用节能灯省钱,省68.52元.
点拔:解决此问题的关键是分析题意,由题意建立一次函数模型,进一步通过两函数解析式组成的方程组确定分类讨论点,根据一次函数的性质做出决策,第三问需要把所给的自变量的值直接代入一次函数的解析式,通过比较两上费用的大小作出决策。
2
、借助图像信息,建立方程组确定决策点
图象信息问题的重点是观察图象,从中获取信息,并且要常常进行“数”与“形”之间的互换,如函数图象如何转化为函数解析式,图像中的信息如何转化为数据,进而转化为方程与函数,几何图形的线段如何转化为距离,等等,这里涉及函数、方程、几何知识的综合运用,则是本类题的难点,
例
2
:(
2006
梧州非课改)甲、乙两个同学同时从各自的家里返回同一所学校,他们距学校的路程
(千米)与行走时间
(小时)之间的关系如图所示.请根据图象所提供的信息解答下列问题:
(
1
)分别求出甲、乙两同学距学校的路程
(千米)与
(小时)之间的函数关系式.
(
2
)在什么时间,甲、乙两同学距学校的路程相等?在什么时间段内,甲同学比乙同学离学校远?在什么时间段内,甲同学比乙同学离学校近?
解:(
1
)设甲同学距学校的路程
(千米)与
(小时)之间的函数关系式为
.由图可知,函数的图象经过点
解得
设乙同学距学校的路程
(千米)与
(小时)之间的函数关系式为
由图可知,函数的图象经过点
解得
(
2
)由题意得,
,解得
.
所以当行走了
小时的时候,甲、乙两同学距学校的路程相等.
由图象知,当
时,甲同学比乙同学离学校远.
当
时,甲同学比乙同学离学校近.
例
3
:(
2006
吉林课改)小明受《乌鸦喝水》故事的启发,利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作:
请根据图中给出的信息,解答下列问题:
(
1
)放入一个小球量桶中水面升高
___________
;
(
2
)求放入小球后量桶中水面的高度
(
)与小球个数
(个)之间的一次函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);
(
3
)量桶中至少放入几个小球时有水溢出?
解:(
1
)
.
(
2
)设
,把
,
代入得:
解得
即
.
(
3
)由
,得
,即至少放入
个小球时有水溢出.
二、由不等式确定决策范围
此类问题的特点是自变量的取值范围蕴含于题目的条件中,需要我们有良好的数据分析与概括能力从题目本分离出取值范围。
例
4
:
(06
临沂
)
某报亭从报社买进某种日报的价格是每份
0.30
元,卖出的价格是每份
0.50
元,卖不出的报纸可以按每份
0.10
元的价格退还给报社。经验表明,在一个月(
30
天)里,有
20
天只能卖出
150
份报纸,其余
10
天每天可以卖出
200
份。设每天从报社买进报纸的份数必须相同,那么这个报亭每天买进多少份报纸才能使每月所获利润最大?最大利润是多少?
解:设该报亭每天从报社买进报纸
x
份,所获月利润为
y
元。根据题意,得
y=
(
0.50
-
0.30
)
x
·
10
+
(0.50
-
0.30)
×
150
×
20
+
(0.10
-
0.30)(x
-
150)×20.
(150
≤x≤200)
即y=-2x+1200(150≤x≤200).由于该函数在150≤
x
≤200时,y随x的增大而减小,所以当x=150时,y有最大值,其最大值为:-2×150+1200=900(元)
答:报亭每天从报社买进150份报纸时,每月获得利润最大,最大利润为900元。
点拔:
本题的情景也是我们日常生活中经常遇到的决策性问题.解决此类问题的关键是根据题目中的条件列出解析式,再通过分析题意找出自变量
x
的取值范围,
最后根据一次函数的增减性及取值范围,确定自变量x的值,进而求得最大利润,最后作出决策。
三、由不等式组确定决策范围
此类问题的特点是,把题目中的一些条件蕴含于表格之中,通过分析表格与题目条件才能得到方程组,进而得到自变量的取值范围,找出讨论点。
例
5
:
(06益阳市)城西中学七年级学生共400人,学校决定组织该年级学生到某爱国主义教育基地接受教育,并安排10位教师同行.经学校与汽车出租公司协商,有两种型号的客车可供选择,其座位数(不含司机座位)与租金如右表,学校决定租用客车10辆.
(1)
为保证每人都有座位,显然座位总数不能少于410.设租大巴
x
辆,根据要求,请你设计出可行的租车方案共有哪几种?
大巴
中巴
座位数(个/辆)
45
30
租金(元/辆)
800
500
(2)
设大巴、中巴的租金共
y
元,写出
y
与
x
之间的函数关系式;在上述租车方案中,哪种租车方案的租金最少?最少租金为多少元?
解:(1)根据题意得
解得:
又因为车辆数只能取整数,所以
故租车方案共3种:①租大巴8辆,中巴2辆;②租大巴9辆,中巴1辆;③租大巴10辆.
(2)
为一次函数,且
y
随
x
的增大而增大.
∴
x
取8时,
y
最小.
元
答:租大巴8辆,中巴2辆时租金最少,租金为7400元.
点拔:此类问题为一次函数与不等式的综合题,
要解决此问题首先需要根据
实际问题
建立不等式组,从而得出自变量的取值范围,
经分类讨论得到适合条件的解,然后再根据一次函数的增减性最后确定选择方案。
四、由题目条件,自动生成分类讨论点
例6:(06遂宁)有一种笔记本原售价为每本8元。甲商场用如下办法促销:每次购买1~8本打九折、9~16本打八五折、17~25本打八折、超过25本打七五折
乙商场用如下办法促销:
购买本数(本)
1
~5
6
~10
11
~20
超过20
每本价格(元)
7.60
7.20
6.40
6.00
(1)、请仿照乙商场的促销表,列出甲商场促销笔记本的购买本数与每本价格对照表;
(2)、某学校有A、B两个班都需要购买这种笔记本。A班要8本,B班要15本。问他们到哪家商场购买花钱较少?
(3)、设某班需购买这种笔记本的本数为x,且9
≤
x
≤40,总花钱为y元,从最省钱的角度出发,写出y与x 的函数关系式
解:
(1)
甲商场的促销办法列表为:
购买本数
(
本
)
1
~
8
9
~
16
17
~
25
超过
25
每本价格
(
元
)
7.20
6.80
6.40
6.00
(2)
若
A
班在甲商场购买至少需
57
.
6
元,而在乙商场购买也至少需要
57
.
6
元,所以
A
班在甲商场购买、乙商场购买花钱一样多.
若
B
班在甲商场购买至少需
102
元,而在乙商场购买至少需要
96
元,所以
B
班在乙商场购买花钱较少.
(3)
由题意知,从最省钱的角度出发,可得
y
与
x
的函数关系式为:
点评:此类问题,多用于商品的促销活动中,大多属于分段函数,即在不同的取值范围内有不同的解析式,需要我们根据取值范围的不同列了不同的解析式,通过对解析式的比较,发现问题,得出结论,从而做出决策。
五、由一次函数与二次函数的综合来共同决策
例
6
:
(06
绵阳
)
某产品每件的成本是
120
元,为了解市场规律,试销阶段按两种方案进行销售,结果如下:
方案甲:保持每件
150
元的售价不变,此时日销售量为
50
件;
方案乙:不断地调整售价,此时发现日销售量
y
(
件
)
是售价
x
(
元
)
的一次函数,且前三天的销售情况如下表:
x
(
元
)
130
150
160
y
(
件
)
70
50
40
⑴如果方案乙中的第四天、第五天售价均为
180
无,那么前五天中,哪种方案的销售总利润大?
⑵分析两种方案,为获得最大日销售利润,每件产品的售价应定为多少元?此时,最大日销售利润
S
是多少?
(
注:销售利润
=
销售额
-
成本额
,销售额
=
售价×销售量
)
解:(
1
)设方案乙中的一次函数解析式为y=
kx+b,
∴
,解得k=-1,b=20.
∴方案乙中的一次函数为y=-x+200
∴第四天、第五天的销售量均为:-180+200=20件。
∴方案乙前五天的总利润为:130×70+150×50+160×40+180×20+180×20-120×(70+50+40+20+20)=6200元。
∵方案甲前五天的总利润为:(150-120)×50×5=7500元,显然6200<7500,∴前五天中方案甲的总利润大。
(2)若按甲方案中定价为150元/件,则日利润为(150-120)×50=1500元。
对乙方案:∵S=xy-120y=x(-x+200)-120(-x+200)
=-x
2
+320x-24000
=-(x-160)
2
+1600
即将售价定在160 元/件时,日利润最大,最大利润为1600元
∵1600>1500 ,
∴将产品的销售价定在160元/件,日销售利润最大,最大利润为1600元。
点拔:此题具有较强的综合能力,首先需要分析题意理出两种销售方式(甲销售方式为一次函数关系,乙销售方式为二次函数关系),进而把一次函数与二次函数结合在一起,这是两种不同类型的函数模型,最后分别求出两种函数模型的最大值通过比较求得最大利润,最终做出决策采用哪种消费方案。
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更新时间:2025/8/17 7:52:18