网站首页
留学
移民
外语考试
英语词汇
法语词汇
旧版资料
请输入您要查询的出国留学信息:
标题
2012中考数学考点 求和问题的解法
内容
探索规律中一类求和问题的解法
山东省枣庄市薛城舜耕中学 李勇
同学们一定知道德国有一个数学神童,
在他十岁时,小学老师出了一道算术难题:
“
计算
1
+
2
+
3+
……+
100
=?
”
.
这可难为初学算术的学生,但是他却在几秒后将答案解了出来,他把数目一对对的凑在一起:
1
+
100
,
2
+
99
,
3
+
98
,……,
49
+
52
,
50
+
51
而这样的组合有
50
组,所以答案很快的就可以求出是:
101×50
=
5050
.
我想现在同学们一定想起他是谁了吧?他就是德国的大数学家高斯
(Gauss
,
1777-1855)
,他
和阿基米德、牛顿、欧拉并列,有
“
数学王子
”
之称
.
有很多题目都与高斯做的这个求和题类似,现在,就让我们来共同探索一下其中的规律
.
一、规律总结
如果我们把高斯解的这个题一般化,那就是求
1+2+3+
……
+n
的和,把这组和首尾的数字对应相加,就可以得到
个(
n+1
),所以
1+2+3+
……
+n=
.
我们还可以假设
S=1+2+3+
……
+n
,再倒过来写一遍就是
S=n+(n
-
1)+
……
+1
,两式相加可以得到
2S=
(
n+1
)
+
(
n+1
)
+
……
+
(
n+1
)
=n
(
n+1
)
两边同时除以
2
得
S=
即:
1+2+3+
……
+n=
用类似的方法我们也可以求出:
1+2+3+
……
+
(
n
-
1
)
=
.
上面两个公式同学们可以记住,计算时不妨直接应用,这样我们在探索规律时就可以把主要精力放在思考问题上,而不是花费在复杂的计算上
.
二、典型例题
例
1
足球比赛时要进行单循环的淘汰赛,
2
个球队要进行
1
场比赛,
3
个球队要进行
3
场比赛,
4
个球队要进行
6
场比赛,……,
n+1
个球队要进行多少场比赛?
解析:
假设
n+1
个球队进行的比赛场数为
S
,则可以得到
球队数
比赛场数
2 1
3 3=1+2
4 6=1+2+3
5 10=1+2+3+4
6 15=1+2+3+4+5
……
……
由规律可以得到
n+1
个球队需要进行的比赛场数为
S=1+2+3+
……
+n=
.
例
2
在一条直线上有
n
个点
A1
,
A2
……
An-1
,
An
.
这
n
个点一共可以构成多少条线段?
解析:
点
A1
和点
A2
可以构成线段
A1A2
,点
A1
和点
A3
可以构成线段
A1A3
,……,点
A1
和点
An
可以构成线段
A1An
,一共是(
n
-
1
)条;点
A2
和点
A3
,点
A2
和点
A4
,……,点
A2
和点
An
,可以构成的线段一共有(
n
-
2
)条,依次类推,
n
个点可以构成的线段有:(
n
-
1
)
+
(
n
-
2
)
+
……
+2+1=
.
评注:例
1
中的球队我们也可以把它看作一个一个线段上的点,按照例
2
那样用画弧的方法,一边画
弧,一边按照例
1
那样记数,很快就能找到答案的!
其实,只要大家能够灵活运用所掌握的方法,探索规律的题目也是很简单的!
例
3
我们知道
1
条可以将一个平面分成
2
部分,
2
条直线可以将一个平面分成
4
部分,
3
条直线最多可以将一个平面分成
7
部分,
4
条直线最多可以将一个平面分成
11
部分,你能探索出
n
条直线最多可以将一个平面分成几部分吗?
……
解析:
直线条数
分成的平面部分
1 2=1+1
2 4=(1+2)+1
3 7=(1+2+3)+1
4 11=(1+2+3+4)+1
……
……
n S=(
1+2+3+
……
+n)+1=
+1
例
4
如图
……
图形编号
①
②
③
④
⑤
⑥
三角形边数
第
n
个图形三角形的边数一共有多少?
解析:
如果我们把后一个图形看作是在前一个图形的基础上在下面补充几个三角形,那么探索起其中的规律来就很容易得到问题的答案
.
图形编号
三角形边数
①
3
②
9=3+3
×
2=3
×
(1+2)
③
18=9+3
×
3=3
×
(1+2+3)
④
30=18+3
×
4=3
×
(1+2+3+4)
……
……
n S=
3
×
(1+2+3+
……
+n)=
以上只是探索规律中求和的一种类型,实际上同学们只要注意总结,善于分类,深入研究,做一个有心人,你一定能够在探索规律中有出色表现的
.
中考政策
中考状元
中考饮食
中考备考辅导
中考复习资料
随便看
寒假打工社会实践心得体会800字大一
关于珍惜时间的格言五年级
德国有哪些院校开设了预科课程 留学德国读预科相关事项
药店员工绩效考核方案模板
大专实习生自我鉴定200字
韩国本科留学的申请途径 留学韩国本科需要多少费用
关于人生感悟的句子心情
难过的句子心情不好84句
描写春天桃花盛开的优美句子
销售人员的培训方案模板
留学德国柏林洪堡大学读本科要满足什么条件
高中生去韩国留学本科一年都需要哪些费用
2021小学数学教师工作总结
大学生护理实习工作总结
二手房居间合同范本简单
自我提升自己的正能量句子
爱情的句子说说心情简短
一年级班主任工作总结范文2021
安全生产大检查实施方案3篇
高考后去韩国留学本科有哪些申请途径
体育生选什么专业比较好
留学慕尼黑大学读硕士可以选择哪些专业
泰国留学毕业率 留学泰国能不能申请延毕
体育特长生可以报考哪些大学
汉语言文学专业学什么课程
malavise
malavisé
Malawi
Malawite
malaxage
malaxer
malaxeur
malaxeuse
Malaxis
malayaite
threadbare
threadbareness
threadbarenesses
threadbarer
threadbarest
threaden
threaders
threading
threadless
threadlet
关于希腊签证的一些问题
希腊的生活和想象中不一样
去希腊,随心所欲地享受生活
希腊原来是这样一个神仙国家
希腊几家不同的银行各有什么优势
一份希腊购物指南
父母养老,首选希腊
希腊移民真如传言中那般好?
希腊那些不可错过的风景
在希腊开银行账户需要注意哪些问题
托福听力技巧分享,成功上岸学子的经验~
考托福可以申请去哪些国家留学?
托福成绩标准详解
托福考试流程详解
托福听力技巧,原来高分考生都是这么做的
托福写作满分多少,怎么写能拿高分
范文示例:托福写作怎么写才能攻下高分点?
托福口语怎么练?
托福听力评分标准详解:如何高效备考?
托福口语这些错误别再犯了!
出国留学网为出国留学人员提供留学、移民、外语考试等出国知识,帮助用户化解出国留学过程中的各种疑难问题。
Copyright © 2002-2024 swcvc.com All Rights Reserved
更新时间:2025/9/2 18:49:14