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标题 2012中考数学考点 特值法
内容
    浅谈数学问题中的特值法
    蓬安县杨家中学 陈晓明
    
    　　所谓特值法，就是在某一范围内取一个特殊值，将繁杂的问题简单化，这对于解有关不需整个解题思维过程的客观题十分生效。其关键在于如何寻求特殊值。下面介绍几种常用寻求特殊值法解题的方法：
    ?
    一、在所给的范围内寻求特殊值；
    ?
    例1：如果0＜x＜1,则式子的化简结果是（???? ）
    ?
    A、??? B、
    ??? C、??? D、﹣
    ?
    方法（一）：直接化简
    ?
    解: ∵0＜x＜1?? ∴
    ＜
    ?
    ∴原式＝
    ?
    =
    ?
    ?????? ???????????=
    ?
    ????????????? ????=
    ?
    
    ?????????????????＝＝﹣??
    ?
    方法（二）：特值法
    ?
    解：∵0＜x＜1，可取＝
    
    ?
    ∴原式＝×
    ×＝， ∵﹣＝﹣＝×＝
    ?
    ?? ∴选D。
    ?
    例2：若a＜
    ﹣1,则3－的最后结果是（?? ）
    ?
    ????? ??A
    、3-a???? B、3+a???? C、-3-a???? D、a-3
    ?
    方法（一）：直接法
    ?
    解：∵解：∵
    a＜﹣1，＜﹣1，∴a-3＜0
    ?
    ∴原式=3-=3-（-
    ）=3+a
    ?
    方法（二）： 特值法
    ?
    解：∵a＜
    ﹣1，可以取a=-4，代入计算：
    ?
    ?? 原式=-1，又3+a=-1，?∴选B。
    ?
    ??
    例3、如果，则的值是（??? ）
    ?
    ?????? A
    、0???? B、-1??? C、1????? D、不能确定
    ?
    　　方法（一）：直接法
    ?
    ???? 解：
    ∵abc＝1
    ?
    ???????? ∴原式＝++
    
    ?
    ????????????? ?=+
    +
    ?
    =
    
    ?
    ????????????????????＝1??????????? 故选C
    ?
    　　方法（二）：特值法
    ?
    ???? 解：∵abc=1,可取a=1,b=1,c=1,代入得：
    ?
    ????????? 原式＝++＝1?? 故选C
    ?
    　　二、在隐含的范围内寻求特殊值；
    ?
    例：如果x、y、z是不全相等的实数，且，
    ，则以下结论正确的是（??? ）
    ?
    A、a、b、c都不小于0??????? B、a、b、c都不大于0
    ?
    C、a、b、c至少一个小于0?? ?D、a、b、c至少一个大于0
    ?
    分析：此题若直接解比较繁杂，可采用特值法，较为简便，由x、y、z是不全相等的实数，可分为两种情况：
    ?
    
    ①x、y、z都不相等；
    ?
    ②x、y、z中有两个相等；
    ?
    当x、y、z都不相等时，可取x=1,y=0,z=-1,则a=1，b=1，c=1，可排除B和C；
    ?
    当x、y、z中有两个相等时，可以取x=0,y=z=1,则a=-1,b=1,c=1，可排除A；
    ?
    综合以上情况，所以选D。
    ?
    　　三、在选择的结论范围内寻求特殊值；
    ?
    例1、如果方程有两个不相等的实数根，则q的取值范围是（?? ）
    ?
    A、q≤0?? B、q＜
    ?? C、0≤q＜??? D、q≥
    ?
    　　方法（一）：直接法
    ?
    解：∵
    ?
    ?? ∴y≥0,则y≥q?? ∴q≥0或q＜0
    ?
    ?? ∴
    ?
    ???????? ∵△=1-4q＞0?? 即q＜
    ?
    ????????? 当q＜0时，方程无根，∴0≤q＜
    
    ?
    　　方法（二）：特值法
    ?
    ???????? 在A、B范围内取q＝-6，代入方程化简为
    ，此时方程有一负根，可排除A、B。
    ?
    ???????? 在D 的范围内可取q=1，代入得，方程无解，排除D。故选C。
    ?
    例2、如果方程的三根可作为一个三角形的三边长，则m的取值范围是（?? ）
    ?
    A、m≥
    ?? ??B、＜m≤1 ????C、≤m≤1?? D、m≤
    ?
    分析:此题直接解比较困难，则可采用特值法。
    ?
    解：在A、C、D范围内取m=
    ,代入方程得：
    ?
    ,解得，，
    ，
    ?
    ∴
    ???? ∴不符合三角形两边之和大于第三边。
    ?
    故选C。
    ?
    综上，通过对比，可见特值法在解决数学问题时，具有举足轻重的作用，有时比一般方法更方便、更快捷，我们在应用时一定要细心审题，灵活运用此法。
    
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更新时间：2025/5/25 22:08:33