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行测数量关系：均值不等式求极值
在行测数量关系中常见的极值问题里，有一类是一元二次函数求最值，相信大家都是能够根据题意列出式子，难点就在于解这个式子，常规的就是采用高中所学的求根公式来进行解答，这个过程就会显得慢而且计算量偏大，所以今天就给大家介绍运用均值不等式来进行求解。
一、什么是极值问题
极值问题顾名思义，就是求极大值和极小值的问题，就是当题干或者问法中出现最大或最小，最多或最少，至多或至少等字眼时，那就是极值问题。
二、均值不等式
1. 什么是均值不等式
2. 均值不等式的应用
三、经典例题
【例题1】 某汽车坐垫加工厂生产一种汽车座垫，每套成本是144元，售价是200元。一个经销商订购了120套这种汽车座垫，并提出：如果每套座垫的售价每降低2元，就多订购6套。按经销商的要求，该加工厂获得最大利润需售出的套数是（ ）。
A.144 B.136 C.128 D.142
【解析】A。根据题目所求为获得最大利润需售出的套数，可知此题属于极值问题，根据题意，可设每套坐垫减价2x元，那么就会多订购6x套，利润为y，得：
y =（200-2x-144）x（120+6x），化简得：y =（56-2x）x（120+6x），要求y最大时的x，可以把（56-2x）看成一个整体a，（120+6x）看成一个整体b，就相当于求ab的最大值，根据均值不等式推论可知，当两个数的和一定，这两个数的积最大，所以去找到（56-2x）与（120+6x）的和一定即可，因为x的系数不同，所以要将x的系数化为相同两者之间的和才一定，所以可将（56-2x）提一个2，（120+6x）提一个6出来，让x的系数都为1，所以y =（56-2x）x（120+6x）=2 x（28-x）x 6 x（20+x），既原式变为y=12（28-x）（20+x），根据均值不等式和一定积最大，当且仅当（28-x）=（20+x）取等号，所以28-x=20+x得出x=4，既当坐垫降价8元时，能获得最大利润，所求获得最大利润售出套数为120+6x4=144，选A。
【例题2】某报刊以每本2元价格发行，可发行10万份，若该报刊单价提高0.2元，发行量减少5000份，则该报刊可能的最大销售收入为多少万元？
A.24 B.23.5 C.23 D.22.5
【解析】D。题目求报刊的最大销售收入属于极值问题，设报刊单价提高了0.2x，那么发行量为10000-5000x，销售收入为y，根据题意得：y=（2+0.2x）（10000-5000x），化简原式得y=0.2x（10+x）x5000x（20-x）=1000x（10+x）（20-x），根据均值不等式，当且仅当10+x=20-x时取等号，所以x=5，带入式子的y=1000x15x15=225000元=22.5万元，选D。
【例题3】某汽车租赁公司有200辆同型号的汽车，每辆车的日租金为100元时可全部租出；当每辆车的日租金增加5元时，未租出的汽车就会多4辆，租出的车每天需要维护费20元。每辆车的日租金为多少时，租赁公司的日收益最大？
A.155元 B.165元 C.175元 D.185元
【解析】D。题目所求为日租金为多少是，日收益最大，属于极值问题。设日租金增加5x元，那么未租出的汽车多4x辆，日收益为y，根据题意可得：
y=（100+5x）（200-4x）-20（200-4x）=（80+5x）（200-4x），化简得y=20（16+x）（50-x），根据均值不等式，当且仅当16+x=50-x时，取等号，所以x=17，既当x=17时，日收益最大，也就是当日租金为100+5x17=185时，日收益最大，选D。
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