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| 标题 | 2015河北五个一名校联盟高三联考数学理试题及答案 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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出国留学网高考频道为您提供最及时的资讯，下面的2015河北五个一名校联盟高三联考数学理试题及答案希望对您有所帮助 唐山一中等五校2015届高三上学期第二次联考 数学（理）试题 第I卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上． 1．设集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2． 已知 是虚数单位， 和 都是实数，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 3．设若 ，则 的值为 A． B． C． D． 4．设 为两个非零向量，则“ ”是“ 与 共线”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．右图中， 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分， 为该题的最终得分，当 时， 等于 A． B． C． D． 6．已知 ，且 ，则 A． B． C． D． 7．已知 , 点 在 内，且 ，设 ，则 等于（ ） A． B．3 C． D． 8．等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则过点 和 ( )的直线的一个方向向量是( ) A． B． C． D． 9．函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线 上，其中 ，则 的最小值为( ) A． B．4 C． D． 10．在区间 和 上分别取一个数,记为 , 则方程 表示焦点在 轴上且离心率小于 的椭圆的概率为 （ ） A． B． C． D． 11．多面体的三视图如图所示，则该多面体表面积为（单位 ） A． B． C． D． 12．若曲线 与曲线 存在公共切线，则 的取值范围为 A． B． C． D． 第II卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡上． 13． 的展开式中 的系数为 ＊ ＊ ． 14．若双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ，则该双曲线的离心率为 ＊ ＊ ． 15．设点 满足条件 ，点 满足 恒成立，其中 是坐标原点，则 点的轨迹所围成图形的面积是 ＊ ＊ ． 16．在 中， 若 ，则 的最大值 ＊ ＊ ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤． 17．已知数列 的各项均为正数，前 项和为 ，且 （Ⅰ）求证数列 是等差数列；（Ⅱ）设 求 ． 18．市一中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是 ，样本数据分组为 ， ， ， ， ． （Ⅰ）求直方图中 的值； （Ⅱ）如果上学路上所需时间不少于 小时的学生可申请在学校住宿，若招生 名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿； （Ⅲ）从学校的高一学生中任选 名学生，这 名学生中上学路上所需时间少于 分钟的人数记为 ，求 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率） 19．已知四棱锥 中， 平面 ，底面 是边长为 的菱形， ， ． （Ⅰ）求证：平面 平面 ； （Ⅱ）设 与 交于点 ， 为 中点，若二面角 的正切值为 ，求 的值． 20．已知抛物线 ，直线 与抛物线交于 两点． （Ⅰ）若 轴与以 为直径的圆相切，求该圆的方程； （Ⅱ）若直线 与 轴负半轴相交，求 面积的最大值． 21．已知函数 （Ⅰ）当 时，判断函数 的单调区间并给予证明； （Ⅱ）若 有两个极值点 ，证明： ． 请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲 已知 外接圆劣弧 上的点（不与点 、 重合），延长 至 ,延长 交 的延长线于 ． （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求证： ． 23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲 已知曲线 的极坐标方程是 ，直线 的参数方程是 （ 为参数）． （Ⅰ）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）设直线 与 轴的交点是 ， 是曲线 上一动点，求 的最大值． 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知 ，对 ， 恒成立，求 的取值范围． 河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（二） 理科数学(答案) 第I卷（选择题，共60分） 一、选择题：BDADC CBADB AC 二、填空题： 13． -200 ．14． ．15． ．16． ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤． 17．已知数列 的各项均为正数，前 项和为 ，且 （Ⅰ）求证数列 是等差数列； （Ⅱ）设 求 解：（Ⅰ） ① ② ①-②得： 整理得： 数列 的各项均为正数， 时， 数列 是首项为 公差为 的等差数列 6分 （Ⅱ）由第一问得 12分 18．市一中随机抽取部分高一学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学所需时间的范围是 ，样本数据分组为 ， ， ， ， ． （Ⅰ）求直方图中 的值； （Ⅱ）如果上学所需时间不少于 小时的学生可申请在学校住宿，若招生 名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿； （Ⅲ）从学校的高一学生中任选 名学生，这 名学生中上学所需时间少于 分钟的人数记为 ，求 的分布列和数学期望．（以直方图中高一学生上学所需时间少于 分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于 分钟的概率） 解：（Ⅰ）由直方图可得： ． 所以 ． 3分 （Ⅱ）新生上学所需时间不少于 小时的频率为： ， 因为 ， 所以1200名新生中有 名学生可以申请住宿． 6分 （Ⅲ） 的可能取值为 由直方图可知，每位学生上学所需时间少于 分钟的概率为 ， , , , , ． 10分 所以 的分布列为： 0 1 2 3 4 ．（或 ） 所以 的数学期望为 ． 12分 19．已知四棱锥 中， ，底面 是边长为 的菱形， ， ． （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）设 与 交于点 ， 为 中点，若二面角 的正切值为 ，求 的值． 19．解：（Ⅰ） 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD………………2分 又ABCD为菱形，所以AC⊥BD,所以BD⊥平面PAC………………4分 从而平面PBD⊥平面PAC． ……………6分 （Ⅱ）方法1． 过O作OH⊥PM交PM于H，连HD 因为DO⊥平面PAC，可以推出DH⊥PM,所以∠OHD为O-PM-D的平面角………………8分 又 ，且 ………………10分 从而 ………………11分 所以 ，即 ． ………………………12分 法二：如图,以 为原点, 所在直线为 轴, 轴建立空间直角坐标系，则 , , …………8分 从而 ………………9分 因为BD⊥平面PAC,所以平面PMO的一个法向量为 ．……10分 设平面PMD的法向量为 ,由 得 取 ，即 ……………11分 设 与 的夹角为 ，则二面角 大小与 相等 从而 ，得 从而 ，即 ． ……………12分 20．已知抛物线 ，直线 与抛物线交于 两点． （Ⅰ）若 轴与以 为直径的圆相切，求该圆的方程； （Ⅱ）若直线 与 轴负半轴相交，求 面积的最大值． 解：（Ⅰ）联立 ，消 并化简整理得 ． 依题意应有 ，解得 ． 设 ，则 ， 设圆心 ，则应有 ． 因为以 为直径的圆与 轴相切，得到圆半径为 ， 又 ． 所以 ， 解得 ． 所以 ，所以圆心为 ． 故所求圆的方程为 ． （Ⅱ）因为直线 与 轴负半轴相交，所以 ， 又 与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知 ，所以 ， 直线 ： 整理得 ，点 到直线 的距离 ， 所以 ． 令 ， ， ， ＋ 0 － 极大 由上表可得 的最大值为 ．所以当 时， 的面积取得最大值 ． 21．已知函数 （Ⅰ）当 时，判断函数 的单调区间并给予证明； （Ⅱ）若 有两个极值点 ，证明： ． 解：（Ⅰ） 时， 易知 从而 为单调减函数．………………４分 （Ⅱ） 有两个极值点 ， 即 有两个实根 ，所以 ，得 ． ，得 ．………………6分 又 ， 所以 ………………8分 ，得 ………………10分 ， ………………12分 另解： 由两个实根， ， 当 时， 所以 单调递减且 ，不能满足条件． 当 时， 所以 单调递减且 当 时， 所以 单调递增且 ， 故当 时， ，当 时 ，当 时② ，所以 由两个实根需要 ．即 即 ， ，从而可以构造函数解决不等式的证明． 有两个实根 ， 不是根，所以 由两个实根， ， 当 时， 所以 单调递减且 ，不能满足条件． 当 时， 所以 单调递减且 当 时， 所以 单调递增且 ， 故当 时， ，当 时 ，当 时② ，所以 由两个实根需要 ．即 即 ， ，从而可以构造函数解决不等式的证明． 请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲 已知 外接圆劣弧 上的点（不与点 重合）,延长 至 ,延长 交 的延长线于 ． （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求证： ． 解：(Ⅰ)证明： 、 、 、 四点共圆 ．………………2分 且 , ,……………4分 ．………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 ,又 , 所以 与 相似, ，…………7分 又 , ， 根据割线定理得 ，……………9分 ．……………10分 23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲 已知曲线 的极坐标方程是 ，直线 的参数方程是 （ 为参数）． （Ⅰ）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）设直线 与 轴的交点是 ， 是曲线 上一动点，求 的最大值． 解：（Ⅰ）曲线 的极坐标方程可化为 ……………………………………………2分 又 ，[ 所以曲线 的直角坐标方程为 …………4分 （Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得 … ………6分 令 ，得 ，即 点的坐标为(2，0)． 又曲线 为圆，圆 的圆心坐标为(1，0)，半径 ，则 … ……8分 所以 ………………………10分 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知 ，对 ， 恒成立，求 的取值范围． 解：∵ a＞0，b＞0 且a+b=1 ∴ + =(a+b)( + )=5+ + ≥9 ，故 + 的最小值为9，……5分 因为对a，b∈(0，+∞)，使 + ≥｜2x-1｜-｜x+1｜恒成立， 所以，｜2x-1｜-｜x+1｜≤9， 7分当 x≤-1时，2-x≤9， ∴ -7≤x≤-1，当 -1＜x＜ 时，-3x≤9， ∴ -1＜x＜ ，当 x≥ 时，x-2≤9， ∴ ≤x≤11，∴ -7≤x≤11 …… 10分 点击下载：河北省唐山一中等五校2015届高三上学期第二次联考数学（理）试题 出国留学网高考频道为您整理史上高考复习资料大全！让您的高考成绩稳步上升！
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