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2015上海静安区高三一模数学理试题及答案

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    以下2015上海静安区高三一模数学理试题及答案由出国留学网高考频道为您精心提供，希望对您有所帮助。

    静安区2015届高三第一学期期末教学质量检测
    数学（理）试卷
                        （试卷满分150分考试时间120分钟）             2014.12
    一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
    1．已知集合，，则        .
    答案：
    考点：集合的描述法
    备考建议：强调，对集合描述法要区分集合的代表元。
    2．设，则           .
    答案：
    考点：二项式定理
    解法：将代入式子中
    备考建议：让学生理解，二项式题型中的赋值法，并补充一些通过某一项系数判断二项式次数的题型。
    3．不等式的解集是          .
    答案：
    考点：分式不等式的解法
    备考建议：分式不等式建议通分后再解不等式，易错点是：不等式性质中，若要两边同乘除，要注意所乘所除数的正负性。
    4．如图，在四棱锥中，已知底面，，底面是正方形，与底面所成角的大小为，则该四棱锥的体积是          .
    答案：
    考点：锥体体积的求法
    备考建议：让学生熟练掌握各简单几何体面积与体积的公式。
    5．已知数列的通项公式（其中），则该数列的前项和           .
    答案：
    考点：数列分组求和，等比数列求和。
    备考建议：此类题型要让学生观察数列通项公式的结构，从而选择正确的求和方法。同时，也可带领回忆一下倒序相加、错位相减、裂项相消的常用求和方法及其适用情况。
    6．已知两个向量，的夹角为30°，，为单位向量， , 若 =0，则 =          .
    答案：2
    考点：向量的数量积：
    解法：由于与、、的数量积都有联系，故等式两边同乘上一个。
    7．已知， (其中，则           .
    答案：
    考点：绝对值方程的解法。
    解法：先解出方程，之后再解
    备考建议：带领学生回忆遇到绝对值的几种处理方法：分段讨论、数形结合、绝对值不等式解法。
    同时，不要忘记圈划题目中特殊的范围信息“(其中 ”
    8．已知△ 的顶点、、，则△ 的内角的大小是          .（结果用反三角函数值表示）
    答案：
    考点：向量数量积求夹角。
    备考建议：回忆向量数量积求夹角公式，以及斜率求夹角公式，并分析它们的缺陷及适用情形。
    9．若、是一元二次方程的两根，则 =          .
    答案：
    考点：韦达定理的应用
    注意：方程判别式小于0，但不影响这道题的解答，韦达定理对一元二次方程均适用。
    10．已知、是方程的两根，、，则 =          .
    答案：
    考点：韦达定理，两角和与差的正切公式，任意角的三角比。
    注意：由两根的和与积可以判断出、都是负角
    11．直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是          .
    答案：或
    考点：点到直线距离公式。
    备考建议：此类题型若只解出一条直线时，注意判断斜率不存在的情况。
    12．已知实数、满足，则的取值范围是       .
    答案：
    考点：利用函数性质作图，数形结合。
    备考建议：画带有绝对值的函数的图像，注意利用绝对值得对称性，如本题只要画出函数在第一象限的图像，然后利用绝对值的对称性，即可得到函数其他象限的图像。
    同时，也可以数形结合，理解成斜率去求范围。
    13．一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是          .
    答案：。
    考点：无穷等比数列各项和。
    备考建议：带领学生回忆一下，无穷等比数列需要满足各条件是，其公比分别需要满足的不同范围，以及强调在某些等比数列极限题型中，不要忘记排除的情况。
    14．两名高一年级的学生被允许参加高二年级的学生象棋比赛，每两名参赛选手之间都比赛一次，胜者得1分，和棋各得0.5分，输者得0分，即每场比赛双方的得分之和是1分.
    两名高一年级的学生共得8分，且每名高二年级的学生都得相同分数，则有          名高二年级的学生参加比赛.（结果用数值作答）
    答案：7或者14
    考点：排列组合
    解法：通过所有人的总分和为联系来列等式。
    设高二年级学生共有人，高二年级每人获得分（）
    于是所有人的总分和为：
    由于共有场比赛，所以所有人的总分和也可表示为
    故，得（），故
    备考建议：此类较新颖的题型，建议学生要仔细审题，抓住题中的关键点作为突破口入手。
    二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
    15．在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是 (     )
    A．；   B．； C．；       D．
    答案：D
    考点：幂函数的图像及其性质
    备考建议：带领学生回忆考纲中涉及到的几类幂函数的性质及其图像。
    16．已知直线与直线，记 . 是两条直线与直线平行的(     )
    A．充分不必要条件； B．必要不充分条件；
    C．充要条件；      D．既不充分也不必要条件
    答案：B
    考点：行列式判断两直线位置关系
    备考建议：带领学生回忆，判断直线位置关系的先后步骤，并指出二元一次方程组的解与直线位置关系之间的联系。
    17．已知为虚数单位，图中复平面内的点表示复数，则表示复数的点是 (     )
    A．      B．      C．      D．
    答案：D
    考点：复平面，复数的运算
    备考建议：学生要理解复数与复平面坐标之间的互相联系与转化。
    18．到空间不共面的四点距离相等的平面个数为(     )
    A．1个；    B．4个；        C．7个； D．8个
    答案：C
    考点：立体几何，排列组合
    解法：分两种情形进行讨论
    1.一个点在平面的一侧，而另外三个点在平面的另一侧，故有种情况。
    2.两个点在平面的一侧，而另外两个点在平面的另一侧，故有种情况。（注意此处为平均分组问题，故要除以2，以以防重复。）
    备考建议：遇到此类，直接思考会比较复杂的题型，建议利用分类的思想，简化情况，可能会取得比较好的效果。
    三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
    19．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
    在锐角中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足 .
    （1）求B的大小；
    （2）若，的面积，求的值.
    考点：正弦定理、余弦定理。
    答案：（1）根据正弦定理，得，所以，………（4分）
    又由角B为锐角，得；…………………………（6分）
    （2），又，所以，…………………………（8分）
    根据余弦定理，得
     ，…………………………（12分）
    所以 =16，从而 =4．…………………………（14分）
    备考建议：带领学生回忆正弦定理与余弦定理的适用情形（如对边对角同时出现，一般选择使用正弦定理；三边一角同时涉及时，一般选择使用余弦定理，等等），以及正、余弦定理的一些变形形式，特别是出现两边之和的形式往往和余弦定理的变形式有关。
    20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.
    某地的出租车价格规定:起步费元，可行3公里，3公里以后按每公里元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里元计算（这里、、规定为正的常数，且），假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.
    （1）若取，，，小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）
    （2）求车费（元）与行车里程 (公里)之间的函数关系式 .
    考点：函数关系的建立，分段函数
    答案：（1）他应付出租车费26元；……………………………（ 4分）
    （2）
    备考建议：遇到应用题，要提醒学生仔细审题，对涉及参量范围及特性的语句要养成圈划习惯。同时，求出函数对应关系时，切记要留意函数的定义域。
    21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
    如图，长方体中，，，点为面的对角线上的动点（不包括端点）. 平面交于点，于点 .
    （1）设，将长表示为的函数；
    （2）当最小时，求异面直线与所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）
    考点：建立函数关系，异面直线所成角
    答案：
    （1）在△ 中，，；   ………………………（ 2分）
    其中；   ………………………（ 3分）
    在△ 中，， …………………………（ 4分）
    在△ 中，， ……………………………（ 6分）
    （2）当时，最小，此时．……………………………（8分）
    因为在底面中，，所以，又， 为异面直线与所成角的平面角，…………………（ 11分）
    在△ 中， 为直角，，所以，
    异面直线与所成角的大小（或等）……………（ 14分）
    备考建议：此类题型，要注意帮学生理清各线段长度之间的对应关系，并加以表示出来。
    22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.
    已知函数（其中）.
    （1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
    （2）判断（其中且）的正负号，并说明理由；
    （3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.
    试判断的反函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数a的取值范围；若不分离，请说明理由.
    考点：函数奇偶性，函数单调性，恒成立问题。
    答案：（1）因为，所以函数的定义域为实数集；…………………………（ 1分）
    又，
    所以函数是奇函数．…………………………（4分）
    （2）因为，所以在上递增，以下给出证明：任取，设，，则
    = ，所以，即，．……………………（ 6分）
    又为奇函数，所以且在上递增．
    所以与同号，．
    所以，当时，．……（ 8分）
    （3）， …………………………（ 10分）
     在区间上恒成立，即，
    或在区间上恒成立，…………………………（ 12分）
    令
    因为，，在递增，所以，解得；
    所以，．…………………………（ 16分）
    注意：第三小题中，关于的解析式的求法，有以下补充：
    由，结合第一小题中，得到的函数为奇函数的结论
    可推得：
    于是，两式相减，即可得，
    备考建议：带领学生回忆函数奇偶性的一些性质，以及函数单调性的一些等价形式。
    同时，回顾一下“恒成立”与“有解”题型中，对问题向最值问题转化的方法。
    23．(本题满分16分) 文：本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.
     理：本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分3分，第3小题满分7分.
    在数列中，已知，前项和为，且 .（其中）
    （1）求数列的通项公式；
    （2）求；
    （3）设，问是否存在正整数、（其中），使得，，成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由.
    考点：数列通向公式，求和公式，数列极限。
    答案：（1）因为，令，得，所以；（ 2分）
    （或者令，得）
    当时，
     ，，推得，…………（5分）
    又，，所以当时也成立，所以，（）（ 6分）
    （2） = ………………………（ 9分）
    （3）文理相同：假设存在正整数、，使得，、成等比数列，则，、成等差数列，故，（**）………………………（ 11分）
    由于右边大于，则，即．
    考查数列的单调性，因为，所以数列为单调递减数列．………………………（ 14分）
    当时，，代入（**）式得，解得；当时，（舍）．
    综上得：满足条件的正整数组为．………………………（ 16分）
    （说明：从不定方程以具体值代入求解也参照上面步骤给分）
    备考建议：对于第一小问，要让学生掌握数列中，与之间互相转化的方法与转换方向的选择。
    而第三问中，要带领学生感受，数列单调性与函数单调性之间的联系与不同。
    点击下载：上海市静安区2015届高三第一学期期末教学质量检测数学（理）试卷

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