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2015上海市黄浦区高三一模数学文试题及答案

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    上海市黄浦区2015届高三上学期期终调研测试（一模）
    数学(文)试卷
    (2015年1月8日)
    一、填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
    1．已知全集，集合，则            ．
    2．函数的定义域是　　　　　　　．
    3．已知直线，则直线与的夹角的
    大小是　　　　　　．
    4．若三阶行列式中第1行第2列的元素3的代数余子式的值是，则 (其中是虚数单位， )的值是                ．
    5．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线：的右焦点重合，则抛物线的方程是　　　   　　．
    6．若函数是定义域为的偶函数，则函数的单调递减区间是　     　．
    7．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与圆心在原点的单位圆(半径为1的圆)交于第二象限内的点，则＝　　　　　．(用数值表示)
    8．已知二项式的展开式中第3项的系数是，数列是公差为的等差数列，且前项和为，则＝　　　　　　．
    9．已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是　　　　．
    10．若从总体中随机抽取的样本为，则该总体的标准差的点估计值是        ．
    11．已知，若是函数的零点，则四个数按从小到大的顺序是　　　　　(用符号连接起)．
    12．一副扑克牌(有四色，同一色有13张不同牌)共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为　　　　　　(用数值作答)．
    13．已知，定义：表示不小于的最小整数．如
        . (理科)若，则正实数的取值范围是             ．
                    (文科) 若，则实数的取值范围是                ．
    14．已知点是所在平面上的两个定点，且满足
      　 ,若 ,则正实数 =    　　　    .
    二、选择题(本大题满分20分)　本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
    15．给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直的                                                                      [答] (     )．
    A．充分非必要条件   B．必要非充分条件　C．充要条件　　D．非充分非必要条件
    16．已知向量，则下列能使成立的一组向量是 [答] (     )．
    A．    　　　　　B．　
    C．   　　　　　D．
    17．一个算法的程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的值是               　
    　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[答] (      )．
    A．4         B． 5        C． 6         D． 7


    18．已知，，定义：，．给出下列命题：
    (1)对任意，都有；
    (2)若是复数的共轭复数，则恒成立；
    (3)若，则；
    (4)对任意，结论恒成立，则其中真命题是[答](    　　)．
       A．(1)(2)(3)(4)     B．(2)(3)(4)　    C．(2)(4)     D．(2)(3)
    三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题
    卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
    19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
       在长方体中，，分别是所在棱的中点，点是棱上的动点，联结．如图所示．
    (1)求异面直线所成角的大小(用反三角函数值表示)；
    (2)求以为顶点的三棱锥的体积．
    20．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
      已知函数．
    (1)求函数的单调递增区间；
    (2)在中，内角所对边的长分别是，若，
    求的面积的值．
    21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
    已知函数，函数是函数的反函数．
    (1)求函数的解析式，并写出定义域；
     (2) 设函数，试判断函数在区间上的单调性，并说明你的理由．
    22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分．
     定义：若各项为正实数的数列满足，则称数列为“算术平方根递推数列”.
      已知数列满足且点在二次函数的图像上.
    (1)试判断数列是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；
    (2)记，求证：数列是等比数列，并求出通项公式；
    (3)从数列中依据某种顺序自左至右取出其中的项，把这些项重新组成一个新数列： .若数列是首项为，公比为的无穷等比数列，且数列各项的和为，求正整数的值．
    23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
       在平面直角坐标系中，已知动点，点点与点关于直线对称，且 .直线是过点的任意一条直线．
    (1)求动点所在曲线的轨迹方程；
    (2)设直线与曲线交于两点，且，求直线的方程；
    (3)设直线与曲线交于两点，求以的长为直径且经过坐标原点的圆的方程．

    数学试卷(文)
    参考答案和评分标准(2015年1月8日)
    说明：
    1．本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．
    2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．
    一、填空题
        1．；                            8．；
        2．；             　　　　　　　 9．；
        3．   ；                               10．；
        4．；                                 11．；
        5．；                           12．；
        6．；                           13．；
        7．　；                            14．．
    二、选择题：　15．B　　　16．C　　　17．A　　　18．C
    三、解答题
    19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分．
    解(1)联结，在长方体中，有 .
    又是直角三角形的一个锐角，
    ∴ 就是异面直线所成的角.
    由，可算得 .
    ∴ ，即异面直线所成角的大小为 .
     (2)由题意可知，点到底面的距离与棱的长相等．
    ∴ ．
    ∵ ，
    ∴ ．                           　　　　　      　
    20．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分．
    解(1)∵ ，
         ∴ .
         由，解得 .
         ∴函数的单调递增区间是 .
    (2)∵在中，，
      ∴ 解得 .
         又，
      ∴ .
       依据正弦定理，有 .
    ∴ .
    ∴ .
    21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
    解(1) ，
     .又， .
          .
         由，可解得 .
         ， .
     (2) 答：函数在区间上单调递减.
    理由：由(1)可知， .
       可求得函数的定义域为 .
       对任意，有，
       所以，函数是奇函数.
       当时，在上单调递减，在上单调递减，
       于是，在上单调递减.
       因此，函数在上单调递减.
      依据奇函数的性质，可知，函数在上单调递减.
    22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分．
    解(1)答：数列是算术平方根递推数列.
        理由：在函数的图像上，

     ， .
         又，
    ∴ ．
    ∴数列是算术平方根递推数列.
    证明(2) ，
         .
        又 ,
         数列是首项为 ,公比的等比数列.
         .
     (3)由题意可知，无穷等比数列的首项 ,公比，
      ．
    化简，得．
         若，则 .这是矛盾！
          .
         又时， ,
            .
          .

    23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
    解(1)依据题意，可得点 .
     ．　　　　　　　　　
    又，
     .
     所求动点的轨迹方程为 .
    (2)   若直线轴，则可求得，这与已知矛盾，因此满足题意的直线不平行于轴．

       设直线的斜率为，则．
        由得．
      设点，有且恒成立(因点在椭圆内部)．
      又，
    于是，，即，
    解得．
    所以，所求直线．                                        　
    (3) 当直线轴时，，点到圆心的距离为1.即点在圆外，不满足题意.
          满足题意的直线的斜率存在，设为，则 .
         设点，由(2)知，进一步可求得

         依据题意，有，
         ，
          即，解得 .
          所求圆的半径，
           圆心为 .
          所求圆的方程为： .
    点击下载：上海市黄浦区2015届高三上学期期终调研测试（一模）数学(文)试卷

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