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高考数学模拟题及答案：三角函数、解三角形

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    高考数学模拟题及答案：三角函数、解三角形
    1．(2015·湖北卷)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<2(π)在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：

ωx＋φ	0	2(π)	π	2(3π)	2π
x		3(π)		6(5π)
Asin(ωx＋φ)	0	5		－5	0

    (1)请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；
    (2)将y＝f(x)图像上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图像，若y＝g(x)图像的一个对称中心为，0(5π)，求θ的最小值。
    解　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－6(π)。
    数据补全如下表：

ωx＋φ	0	2(π)	π	2(3π)	2π
x	12(π)	3(π)	12(7π)	6(5π)	12(13π)
Asin(ωx＋φ)	0	5	0	－5	0

    且函数表达式为f(x)＝5sin6(π)。
    (2)由(1)知f(x)＝5sin6(π)，
    得g(x)＝5sin6(π)。
    因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z。
    令2x＋2θ－6(π)＝kπ，解得x＝2(kπ)＋12(π)－θ，k∈Z。
    由于函数y＝g(x)的图像关于点，0(5π)成中心对称，令2(kπ)＋12(π)－θ＝12(5π)，解得θ＝2(kπ)－3(π)，k∈Z。
    由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值6(π)。
    2．(2015·浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。已知tan＋A(π)＝2。
    (1)求sin 2A＋cos2A(sin 2A)的值；
    (2)若B＝4(π)，a＝3，求△ABC的面积。
    解　(1)由tan＋A(π)＝2，得tan A＝3(1)，
    所以sin 2A＋cos2A(sin 2A)＝2tan A＋1(2tan A)＝5(2)。
    (2)由tan A＝3(1)，A∈(0，π)，得sin A＝10(10)，cos A＝10(10)。
    又由a＝3，B＝4(π)及正弦定理sin A(a)＝sin B(b)，得b＝3。
    由sin C＝sin(A＋B)＝sin4(π)得sin C＝5(5)。
    设△ABC的面积为S，则S＝2(1)absin C＝9。
    3．(2016·潍坊3月模拟)已知函数f(x)＝sin2ωx－6(π)－4sin²ωx＋2(ω>0)，其图像与x轴相邻两个交点的距离为2(π)。
    (1)求函数f(x)的解析式；
    (2)若将f(x)的图像向左平移m(m>0)个长度单位得到函数g(x)的图像恰好经过点，0(π)，求当m取得最小值时，g(x)在12(7π)上的单调递增区间。
    解　(1)函数f(x)＝sin6(π)－4sin²ωx＋2＝2(3)sin 2ωx－2(1)cos 2ωx－4×2(1－cos 2ωx)＋2＝2(3)sin 2ωx＋2(3)cos 2ωx＝sin3(π)(ω>0)，
    根据函数f(x)的图像与x轴相邻两个交点的距离为2(π)，可得函数f(x)的最小正周期为2×2(π)＝2ω(2π)，得ω＝1。
    故函数f(x)＝sin3(π)。
    (2)将f(x)的图像向左平移m(m>0)个长度单位得到函数g(x)＝sin3(π)＝sin2x＋2m＋3(π)的图像，根据g(x)的图像恰好经过点，0(π)，
    可得sin3(π)＝0，
    即sin3(π)＝0，
    所以2m－3(π)＝kπ(k∈Z)，m＝2(kπ)＋6(π)(k∈Z)，
    因为m>0，所以当k＝0时，m取得最小值，且最小值为6(π)。
    此时，g(x)＝sin3(2π)。
    令2kπ－2(π)≤2x＋3(2π)≤2kπ＋2(π)，k∈Z，得kπ－12(7π)≤x≤kπ－12(π)，k∈Z，故函数g(x)的单调递增区间为kπ－12(7π)，kπ－12(π)，k∈Z。
    结合x∈12(7π)，可得g(x)在12(7π)上的单调递增区间为12(π)和12(7π)。
    4．(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝2()，n＝(sin x，cos x)，x∈2(π)。
    (1)若m⊥n，求tan x的值；
    (2)若m与n的夹角为3(π)，求x的值。
    解　(1)∵m＝2()，n＝(sin x，cos x)，且m⊥n，
    ∴m·n＝2()·(sin x，cos x)
    ＝2(2)sin x－2(2)cos x＝sin4(π)＝0。
    又x∈2(π)，∴x－4(π)∈4(π)。
    ∴x－4(π)＝0，即x＝4(π)。∴tan x＝tan 4(π)＝1。
    (2)由(1)和已知得cos 3(π)＝|m|·|n|(m·n)
    ＝2()
    ＝sin4(π)＝2(1)，
    又x－4(π)∈4(π)，∴x－4(π)＝6(π)，即x＝12(5π)。
    5．(2015·杭州一检)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。已知cos 2A＋2(3)＝2cos A。
    (1)求角A的大小；
    (2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围。
    解　(1)根据二倍角公式：cos 2x＝2cos²x－1，得
    2cos²A＋2(1)＝2cos A，即4cos²A－4cos A＋1＝0，
    所以(2cos A－1)²＝0，所以cos A＝2(1)。
    因为0<A<π，所以A＝3(π)。
    (2)根据正弦定理：sin A(a)＝sin B(b)＝sin C(c)，得
    b＝3(2)sin B，c＝3(2)sin C，
    所以l＝1＋b＋c＝1＋3(2)(sin B＋sin C)。
    因为A＝3(π)，所以B＋C＝3(2π)，
    所以l＝1＋3(2)－B(2π)＝1＋2sin6(π)。
    因为0<B<3(2π)，所以l∈(2,3]。
    6．(2015·山东卷)设f(x)＝sin xcos x－cos²4(π)。
    (1)求f(x)的单调区间；
    (2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。若f2(A)＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值。
    解　(1)由题意知f(x)＝2(sin 2x)－2()
    ＝2(sin 2x)－2(1－sin 2x)＝sin 2x－2(1)。
    由－2(π)＋2kπ≤2x≤2(π)＋2kπ，k∈Z，可得－4(π)＋kπ≤x≤4(π)＋kπ，k∈Z；
    由2(π)＋2kπ≤2x≤2(3π)＋2kπ，k∈Z，可得4(π)＋kπ≤x≤4(3π)＋kπ，k∈Z。所以f(x)的单调递增区间是－4(π)＋kπ，4(π)＋kπ(k∈Z)；单调递减区间是＋kπ(3π)(k∈Z)。
    (2)由f2(A)＝sin A－2(1)＝0，得sin A＝2(1)，
    由题意知A为锐角，所以cos A＝2(3)。
    由余弦定理a²＝b²＋c²－2bccos A，
    可得1＋bc＝b²＋c²≥2bc，
    即bc≤2＋，且当b＝c时取等号。
    因此2(1)bcsin A≤4(3)，
    所以△ABC面积的最大值为4(3)。

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