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标题 高考数学第一轮复习题（导数及应用）
内容
    高考是人生至关重要的一场考试，想在这场战役中取得漂亮的好成绩，扎实的复习是必不可少的，出国留学网小编为大家准备了高考数学第一轮复习资料，希望对大家有所帮助，更多精彩内容欢迎访问www.liuxue86.com。
    导数及其应用复习题
    一、选择题
    1.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f ′(1)=2，则f ′(-1)=(　　)
    A.-1 B.-2
    C.2 D.0
    [答案]　B
    [解析]　f ′(x)=4ax3+2bx，∵f ′(1)=4a+2b=2，
    ∴f ′(-1)=-4a-2b=-(4a+2b)=-2
    要善于观察，故选B.
    2.(2011?江西文，4)曲线y=ex在点A(0,1)处得切线斜率为(　　)
    A.1 B. 2
    C.e D.1e
    [答案]　A
    [解析]　y′=(ex)′=ex，所以k=e0=1.
    3.(2011?重庆文，3)曲线y=-x3+3x2在点(1,2)处的切线方程为(　　)
    A.y=3x-1 B.y=-3x+5
    C.y=3x+5 D.y=2x
    [答案]　A
    [解析]　y′=-3x2+6x在(1,2)处的切线的斜率k=-3+6=3，
    ∴切线方程为y-2=3(x-1).即y=3x-1.
    4.(2010?山东文，8)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y=-13x3+81x-234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为(　　)
    A.13万件 B.11万件
    C.9万件 D.7万件
    [答案]　C
    [解析]　本题考查了导数的应用及求导运算，∵x>0，y′=-x2+81=(9-x)(9+x)，令y′=0得x=9，x∈(0,9)时，y′>0，x∈(0，+∞)时，y′<0，y先增后减，∴x=9时函数取最大值，选C，属导数法求最值问题.
    5.(文)(2011?湖南文，7)曲线y=sinxsinx+cosx-12在点M(π4，0)处的切线的斜率为(　　)
    A.-12 B.12
    C.-22 D.22
    [答案]　B
    [解析]　∵y′=cosx?sinx+cosx?-sinx?cosx-sinx??sinx+cosx?2
    =1?sinx+cosx?2，∴y′|x=π4=12.
    (理)(2011?湖南理，6)由直线x=-π3，x=π3，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为(　　)
    A.12 B.1
    C.32 D.3
    [答案]　D
    [解析]　S=∫π3-π3cosxdx=sinxπ3-π3
    =sinπ3-sin-π3=3.
    6.(2011?山东淄博)若函数y=f(x)在R上可导，且满足不等式xf ′(x)>-f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是(　　)
    A.af(a)>bf(b) B.af(a)
    C.af(b)bf(a)
    [答案]　A
    [解析]　令F(x)=xf(x)，则F′(x)=xf ′(x)+f(x)，
    由xf ′(x)>-f(x)，
    得：xf ′(x)+f(x)>0，即F′(x)>0，
    所以F(x)在R上为递增函数.
    因为a>b，所以af(a)>bf(b).故选A.
    7.(2011?江苏盐城)函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是(　　)
    A.0≤a<1 B.-1
    C.0
    [答案]　D
    [解析]　f ′(x)=3x2-3a，
    由于f(x)在(0,1)内有最小值，故a>0，
    令f ′(x)=0，得x1=a，x2=-a.
    则a∈(0,1)，∴0
    8.(文)(2011?浙江文，10)设函数f(x)=ax2+bx+c(a，b，c∈R)，若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图像不可能为y=f(x)的图像是(　　)
    [答案]　D
    [解析]　由F(x)=f(x)?ex得，
    F′(x)=f′(x)ex+f(x)?(ex)′
    =ex[ax2+(2a+b)x+b+c]
    ∵x=-1是F(x)的极值点，∴F′(-1)=0，得c=a.
    ∴f(x)=ax2+bx+a∴f′(x)=2ax+b
    ∴f′(-1)=-2a+b，f(-1)=2a-b
    由f′(-1)=0，则b=2a，f(-1)=0，b=2a，故A，B选项可能成立;
    由f′(-1)>0，∴-2a+b>0，∴f(-1)<0，故C选项也成立;
    所以，答案选D.
    (理)(2011?湖北理，10)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)=M02-t30，其中M0为t=0时铯137的含量.已知t=30时，铯137含量的变化率是-10ln2(太贝克/年)，则M(60)=(　　)
    A.5太贝克 B.75ln2太贝克
    C.150ln2太贝克 D.150太贝克
    [答案]　D
    [解析]　M′(t)=-M030ln2?2-t30，
    ∴M′(30)=-M060ln2=-10ln2，∴M0=600，
    ∴M(t)=600?2-t30，∴M(60)=600?2-2=150.
    二、填空题
    9.直线y=12x+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线，则实数b=________.
    [答案]　ln2-1
    [解析]　(lnx)′=1x，令1x=12，得x=2，∴切点(2，ln2)代入切线方程，得b=ln2-1.
    10.(2011?山东烟台)曲线y=2x4上的点到直线y=-x-1的距离的最小值为________.
    [答案]　5162
    [解析]　设直线l平行于直线y=-x-1，且与曲线y=2x4相切于点P(x0，y0)，则所求最小值d即为点P到直线y=-x-1的距离，对于y=2x4，y′=8x3，
    则y′|x=x0=8x30=-1.
    ∴x0=-12，y0=18，
    ∴d=|-12+18+1|2=5162.
    11.(苏北四市联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)=0，xf ′?x?-f?x?x2>0(x>0)，则不等式x2f(x)>0的解集是________________.
    [答案]　(-1,0)∪(1，+∞)
    [解析]　设F(x)=f?x?x，则当x>0时，
    F′(x)=xf ′?x?-f?x?x2>0，
    ∴F(x)在(0，+∞)上为增函数，且F(1)=f(1)=0.
    ∴当x>1时，F(x)>0，则有f(x)>0，
    当0
    又∵f(x)是R上的奇函数，
    ∴当-10，
    当x<-1时有f(x)<0.
    ∴x2f(x)>0的解集是(-1,0)∪(1，+∞).
    12.(文)(2011?银川二模)已知函数y=f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程为y=12x+2，则f(1)+f′(1)=________.
    [答案]　3
    [解析]　由题可知f(1)=12×1+2=52，f′(1)=k=12，所以f(1)+f′(1)=3.
    (理)(2011?浙江五校联考)已知函数f(x)的导函数f′(x)=2x-9，且f(0)的值为整数，当x∈[n，n+1](n∈N*)时，f(x)所有可能取的整数值有且只有1个，则n=________.
    [答案]　4
    [解析]　由题可设f(x)=x2-9x+c(c∈R)，又f(0)的值为整数即c为整数，∴f(n)=n2-9n+c为整数，f(n+1)=(n+1)2-9(n+1)+c=n2-7n+c-8为整数，又x∈[n，n+1](n∈N*)时，f(x)所有可能取的整数值有且只有1个，∴n2-7n+c-8=n2-9n+c，即n=4.
    三、解答题
    13.已知曲线y=x3.
    (1)求曲线在点(1,1)处的切线方程;
    (2)求过点(1,0)与曲线相切的直线方程;
    (3)求过点(1,1)与曲线相切的直线方程.
    [解析]　(1)∵y=x3，∴y′=f ′(x)=3x2，且点(1,1)在曲线上，
    ∴f ′(1)=3×12=3，即所求切线的斜率k=3.
    ∴切线方程为y-1=3(x-1)，即3x-y-2=0.
    (2)∵曲线y=x3，∴y′=f ′(x)=3x2.
    显然点(1,0)不在曲线y=x3上 ，
    设切点坐标为(x0，x30)，
    ∴所求直线的斜率k=f ′(x0)=3x20故所求直线方程为y-x30=3x20(x-x0).
    又因为该直线过点(1,0)，代入得，
    0-x30=3x20(1-x0)，
    ∴x20(2x0-3)=0，∴x0=0，或x0=32.
    当x0=0时，k=3x20=0，
    此时所求直线方程为y=0;
    当x0=32时，k=3x20=274，
    此时所求直线方程为y=274(x-1)，
    即27x-4y-27=0.
    ∴所求直线方程为y=0，或27x-4y-27=0.
    (3)由(2)知，所求直线方程为y-x30=3x20(x-x0).
    又直线过点(1,1)，∴1-x30=3x20(1-x0)，
    整理得(x0-1)2(2x0+1)=0，
    ∴x0=1，或x0=-12.
    当x0=1时，k=3，
    此时所求直线方程为y-1=3(x-1)，即3x-y-2=0;
    当x0=-12时，k=34，
    此时所求直线方程为y-1=34(x-1)，
    即3x-4y+1=0.
    ∴所求直线的方程为3x-y-2=0，或3x-4y+1=0.
    14.(文)(2011?重庆文，19)设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f′(x)，若函数y=f′(x)的图像关于直线x=-12对称，且f′(1)=0.
    (1)求实数a，b的值;
    (2)求函数f(x)的极值.
    [解析]　(1)∵f(x)=2x3+ax2+bx+1
    ∴f′(x)=6x2+2ax+b
    由题意知-2a2×6=-12，∴a=3.
    又f′(1)=0，∴6×12+2a+b=0，
    ∴6+6+b=0，∴b=-12.
    ∴a=3，b=-12.
    (2)由(1)知a=3，b=-12.
    ∴f′(x)=6x2+6x-12=6(x2+x-2)=6(x+2)(x-1)
    令f′(x)=0，得x1=-2，x2=1.
    f′(x)、f(x)随x变化如下表
    x (-∞，-2) -2 (-2,1) 1 (1，+∞)
    f′(x) + 0 - 0 +
    f(x)  极大值  极小值 
    ∴当x=-2时，f(x)取得极大值f(-2)=21，在x=1处取得极小值f(1)=-6.
    (理)(2011?重庆理，18)设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f′(x)满足f′(1)=2a，f′(2)=-b，其中常数a，b∈R.
    (1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程;
    (2)设g(x)=f′(x)e-x，求函数g(x)的极值.
    [解析]　(1)因f(x)=x3+ax2+bx+1，
    故f′(x)=3x2+2ax+b，
    令x=1，得f′(1)=3+2a+b，由已知f′(1)=2a，
    因此3+2a+b=2a，解得b=-3.
    又令x=2，得f′(2)=12+4a+b，由已知f′(2)=-b，因此12+4a+b=-b，解得a=-32.
    因此f(x)=x3-32x2-3x+1，从而f(1)=-52.
    又因为f′(1)=2×(-32)=-3，故曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y-(-52)=-3(x-1)，即6x+2y-1=0.
    (2)由(1)知g(x)=(3x2-3x-3)e-x，
    从而有g′(x)=(-3x2+9x)e-x.
    令g′(x)=0，得-3x2+9x=0，解得x1=0，x2=3.
    当x∈(-∞，0)时，g′(x)<0，故g(x)在(-∞，0)上为减函数;
    当x∈(0,3)时，g′(x)>0，故g(x)在(0,3)上为增函数;
    当x∈(3，+∞)时，g′(x)<0，故g(x)在(3，+∞)上为减函数;
    从而函数g(x)在x1=0处取得极小值g(0)=-3，在x2=3处取得极大值g(3)=15e-3.
    15.(2011?江苏，17)请你设计一个包装盒.如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x(cm).
    (1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值?
    (2)某厂商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
    [解析]　设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，由已知得
    a=2x，h=60-2x2=2(30-x)，0
    (1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1800，
    所以当x=15时，S取得最大值.
    (2)V=a2h=22(-x2+30x2)，V′=62x(20-x).
    由V′=0得x=0(舍)或x=20.
    当x∈(0,20)时，V′>0;当x∈(20,30)时，V′<0.
    所以当x=20时，V取得极大值，也是最大值.
    此时ha=12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.
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更新时间：2025/6/1 4:33:13